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戴震评传-第14部分
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》大周三十四万三千三百三十五，蔀月九百四十。〔戴震云：〕大周即周天也，蔀月即日法也。以日法除周天得经岁三百六十五日小余二百三十五？？今按：可用上条计算方法得之。
戴震的《古今岁实考》，实际上是一部历学史，或称“回归年学史”。
值得一提的是，戴震从祖冲之（429—500）《大明历》的天文数字的叙述中认为祖冲之发现岁差①，尽管不确，但意义甚大，说明戴震敏锐的目光，善于从古代天文记录中发现天文史的成就，后来在《续天文略》中戴震最终发现，是虞喜发现岁差。①《古今岁实考》说：祖冲之《大明历》周天一千四百四十二万四千六百六十四，虚分一万四百四十九，岁余九千五百八十九。纪法三万九千四百九十一。［戴震云］以万万（按：古代天文中一种用于换算的常数，最早为唐僧一行所制）通虚分，满纪法得二千六百四十五万九千一百九十三奇（九千二百三十七不尽），又以万万通岁余，满纪法得二千四百二十八万一千四百八十一奇（三万三千八百二十九不尽），岁余不及度余三万九千四百九十一之八百六十，是为岁差分。天自为天，岁自为岁，其法始见于此，定为四十五六年（按：45。6 年）差一度也。① 岁差是由晋代虞喜提出的（约330 年），并得出“五十年退一度”的结论，《大明历》则最早将岁差用入历法。明代礼部员外郎郑善夫曾说岁差之法，虞喜以五十年差一度，何承天以百年差一度，刘焯以七十五年，一行以八十年，郭守敬以六十七年。梅文鼎也在戴震之前确认虞喜发现岁差。① 见《续天文略》卷上五页，载《安徽丛书》第六期《戴东原先生全集》。② 见黄汝成《袖海楼杂著》收入的戴震《古今岁实考》。戴震认为祖氏《大明历》提供岁差，因为从《大明历》的天文数字中确实能得到岁差。《大明历》周天（按：即岁周）14。424，664（按：黄汝成认为是14，423，800，4）减去虚分10，449 得14，414，215，除以纪法39，491，得岁实之整数部分365。《大明历》岁余9589，除以纪法39491，得0。2428148，为岁差之小数部分，合计为岁实365。2428。《大明历》虚分三是对古历法“九道八行说”的批判和继承。古历法中的“九道”，是指月球绕地球公转轨道的投影轨道。又称白道，戴震《原象》中称之为月道，戴说：“月道斜交于黄道。”现代天文学指出，白道和黄道的交角平均为5°9′，“九道”用以考白道与黄道每月相交的变化，从而将月球轨道白道分为内朱道、外朱道、内白道、外白道、内黑道、外黑道、内青道、外青道、中黄道。“八行”是指用八个节气（春分、立春、冬至、立冬、秋分、立秋、夏至、立夏）来命名九道，如说春分青道为正东（内青道）、立春青道为东南（外青道）等等。“九道八行”之说，宋人疑之，元人废之。戴震认为，“九道八行”之说是有错误，但它的前提是承认黄道、月道有交点，日月运行到该交点的某一相同范围内是有可能的。而这个交点不是固定不变，而是要变化的。戴震说：月道出入黄道内外，二十七日有奇而交道一终。交终不复于原处，其差一度又几半度。每年之差，自东而西十九度奇。有“交道一终”，要形成月朔和可能形成日月食，有“交终不复于原处”，则不一定形成日月食。这正是自然界的辩证运动。戴震认为研究天体有充分利用这一运动特征的必要，日月运动的黄经相等和交点的位置移动，亦即日月运动到同一黄经度，但两者不一定相重，是研究日月食的依据，因而是极其有用的。他说：古历以自南而北交于黄道为中交，常以中交为主，今历谓之正交。古历自北而南为正交，今历谓之中交。日食朔，当交也。月食望，当交也。戴震认为，废弃了旧说，应当有研究的新路，否则无法正确解释自然现象，科学就会停止。他说：九道自宋人疑之，至元而遂废。考诸古历，未有明析其必分之故者。由今思之。可以知交道出入焉，可以考当交、半交距赤道远近焉，可以明交终所差，每月交于某宫度焉，可以辨交之中终与朔望不齐，每朔望去交远近及当交而有食焉。古法之废而宜举者此也。戴震对古天文中已被废弃的说法仍取批判继承，为我所改造，为我所利用的态度，是值得重视的。
四是对古代天文，尤其是《周髀》中的“北极璇玑四游”作出合乎近代科学的解释和术语的对应。通过古今对比研究和术语对应，以古证今，以今补古，这对加深对古天文的科学认识，促进后代天文学的发展，都是有重要意义的。最著名的对比就是天体视运动的对比。近代天文学将太阳视运动的轨道叫黄道。它和天球赤道的交角为23°26′，天球赤道平面有北天极和南天极，黄道也有北黄极和南黄极。视运动在古代早有研究，戴震说，鲁《论语》中的北辰，《周髀》中的正北极，又名北极枢，都是指天球赤道极。《周10449，减去岁余9589，得860，除以纪法39491，得岁差0。0217771。此计算法为南京大学中国思想家研究中心卢央老师提供。0。0217771（每年岁差度）×100 年＝2。17771，即按祖氏提供的天文数字推算，得出每百年差2。17771 度，但早在祖冲之（429——500）之前，晋虞喜的约在公元330 年前后提出：“通而计之，未盈百载，所差二度”。从而得出“五十年退一度”的结论。按戴震说，应当为45。6 年，即0。0217771×45。6＝0。999303576≈l（度）。
① 《九道八行说》，《戴震集》，上海古籍出版社1980 年版118 页。
① 《九道八行说》，《戴震集》，上海古籍出版社1980 年版119 页至120 页。② 同上，120 页。
髀》中的北极璇玑是黄道极，天体的视运动是日循黄道，但地球上看得最清楚的却是璇玑绕枢北极，即黄极和天球赤道极间的相对运动，或说成北斗绕北极。戴震说：“正北极者，左旋之枢，北极璇玑每昼夜环绕之而成规。”①璇玑绕北极与日循黄道是相应的，日循黄道的不同时刻的太阳的位置，形成了璇玑的“一日四游”，同样，太阳一年四季的位置，在北半绕北极中表现为“璇玑一岁四游”。古代曾把地球在空间的运动叫做“地游”。璇玑四游曾被作过种种理论上的解释，莫衷一是，“纷纭殊说，私臆罔据”，戴震把北斗绕北极和日循黄道看作同一问题以后，完全揭开了其相关运动的秘密，古来误解的“璇玑四游”问题得到了正确的解释。
五是对月建的解释，也是以古证今的典例。古代天文中把农历每月所置之辰称为月建。如正月建寅，二月建卯等。但月建的依据是什么？汉代人据《逸周书》斗杓移辰来解释月建，也非得其是。戴震认为，璇玑绕北极运动为一年四季的变化依据，将北斗绕北极的运行轨道均分之有十二宫，或称十二辰（实际上就是把黄道附近的一周天分成十二等分由东向西配以子丑寅卯等十二支），冬至夜半北斗转到了正北极的子位，是谓建子，小寒过丑宫，大寒正当丑位，谓建丑。如此等等。并非北斗星的斗构所指。戴震认为，这正好说明北斗绕北极与日循黄道的一致性，但古天文中从未给予正确的解释，由于有岁差的影响，虞、夏至清乾隆时月建已差两宫，显见是日循黄道因岁差而退行（五十年一度）所致。戴震在熟谱天文学史的基础上正确地指出，古来皆误，只有祖冲之隐约认识到月建所能说明的问题，祖冲之说：“月位称建，谅以气之所本，名随实著，非谓斗构所指。近校汉时已差半次。审斗节时，其效安在？”鉴此，戴震评述说：“今考北极璇玑四游与日躔黄道发敛相应，而二十四气因之，祖氏所谓‘谅以气之所本’，虽未能确言，其识卓矣。”①在戴震看来，此祖识卓特，就在于从北斗绕北极十二辰位置而成月建，看到了璇玑绕北极即相应于日循黄道，为“气之所本”，虽说法不显确，但已看到了天体视运动的主体结构对历法的深刻影响。
戴氏还指出，清初梅文鼎也已知月建不同源于岁差，非斗柄移辰。梅氏曾说：“十二月建之非关斗柄。”②但梅氏不知“四游所极推之余月，则月建十有二，由璇玑夜半所建，显然且璇玑所建与日躔黄道，发南敛北相应”③，也就是前面所说的北斗环绕北极和日循黄道的一致性问题，因而梅氏仍然没有真正解决月建问题。彻底解决月建问题的，当归功于戴震。
六是戴震还以岁差来解释古今星象的变化，这突出地表现在他的《记夏小正星象》一文中。以天象验证古代文献，这在现代科学，如考古学、历史学，年代学的研究中都是最重要的有说服力的研究方法。戴震研究了《大戴礼记》的《夏小正》记载的星象，并由此推断文献记载中相关的年代。例如夏代的五月，看上去太阳已运行到十二次的鹑火（即二十八宿坐标位置的柳、① 《戴震集》上海古籍出版社1980 版120 页。类似的说法又见于秦蕙田《五礼通考，观象授时门》第一卷戴震释《周髀算经》“北极璇玑”条。在释《周髀》“七衡六间”时说：“古未有黄赤道之名，但谓之衡。《虞书》之璇玑既为黄极，则玉衡以界黄道而定节气。黄道必别为侧络之衡，准黄极取正，赤道准赤极取正也。”见文渊阁本139—366，378 页。
① 《周髀北极璇玑四游解二》，见《戴震集》，上海古籍出版社1980 年版122 页。② 梅文鼎《历学疑问补》“再论斗建”。
③ 《安徽丛书》第六期《续天文略》卷中。
星、张），由于夏代正月的月建为寅，到五月月建为午无疑。戴震说：“大火中者，夏以建午之月。”故五月分恒星宿中的大火黄昏时处正中，与《尧典》日永星火，以正仲夏”（昼长夜短的夏至，大火黄昏时在南天正中，这时正是夏历五月）之文相应，戴震由此推断，《夏小正》所记“五月，日躔鹑火，故参朝觌（参宿早晨出现）”之文，与《尧典》所记之文的时间，“时之相去未远也”。从此可进一步推证《夏小正》的时代与《尧典》的时代相距不远，因为它们的星象近同。又如周代正月建子，到建未之月（周历八月，合夏历六月），“火星中而寒暑退”，戴震说，《春秋传》这句话的意思是：“建未之月暑退昏中，建丑之月寒退旦中。”①意思是说，周历八月（夏历六月，季夏）当头星（大火）在昏时（约18：00—20：00）处南天正中暑渐退转秋，周历二月（夏历十二月，季冬）大火在旦时（约5：00—7：00）才处南天中，寒渐退转春。戴震认为，这种情况仅在周代如此。凡星未成为当头星，则“凡星未中，左旋进而上”，已成为当头星，则“过中，左旋流而下”。《诗经》“七月流火”中的七月用夏历，大火过了六月分的“昏中”，七月分当然要西折下移了（也是恒星视运动，并非岁差引起下移，现代天文学已证明下移30。5 度），而《礼记·月令》称“季夏昏火中”正是说夏历六月分大火黄昏时当头顶正南方。正是从古历的记载，戴震认为，《春秋传》所载，《诗经》、《礼记·月令》，“皆周时数百年间也”。以上是《夏小正》与《尧典》比，《春秋传》与《诗经》、《礼记·月令》比，由历法同而见文献记载大体同时的星象，大体同时的文献依据。至于夏代与周代的相异之处，显然是岁差引起的。戴震说：“凡夏时日躔所在，与今差二次，与周时差一次，星之见伏旦昏中悉因之而异。”①由于岁差，作视运动的恒星（如大火，二十八宿）如同太阳一样，每年都有微量退行度数，日躔之所在夏与周相比差一次（按：次，十二次），夏与清乾隆相比差二次，恒星当然也退行。二十八宿，尤其是大火，在昏、旦时分居于当头星位置当然也就得“因之而异”。戴震从岁差引出的宏观相异的论断完全正确。
应该指出，戴震以岁差观察日行，又以岁差观察恒星的视运动，这是对运动普遍性的深刻把握，是天文学史上的重大进步。汉代以后，进步的学者一般都考虑岁差对日行的影响，但不考虑岁差对恒星的影响。戴震的《续天文略》指出：“汉已来不以岁差归之列宿右旋，而以岁差归之日躔不足，殊乖实验。”②七是对西方天文学成就的吸收。江永在解释岁差和回归年时，就已经引用西方天文学中的本轮、均轮之说③。如前所说，我国传统天文学中黄道视运动的学说，是极易吸收地球居中不动，太阳和行星绕地周行（均轮），且行星又在绕地周行的小圆（本轮）上作匀速运动的均轮、本轮之说的④。戴震和江永一样，都是从黄道视运动来接受本轮均轮之说的，与西方本土的本轮均轮之说已有一定的距离，可算是洋为中用的尝试。但应当注意的是，戴震在① 《记夏小正星象》，见《戴震集》上海古籍出版社1980 版123 页。这句话见于《左传·昭公三年》，参见《十三经注疏》2030 页下。
① 《记夏小正星象》，见《戴震集》上海古籍出版社1980 年版123 页。② 《安徽丛书》第六期《续天文略》卷上7 页。
③ 《江慎修先生事略状》，《戴震集》，上海古籍出版社1980 年版226 页。④ 见本书第一章第三节。
古天文学和外来天文学之间，他立足于传统的古天文学，而以当时的外来说为之补充注释，这与数学上以勾股割圆法为中心，而又以西学三角学为之注的精神是一致的。与本轮均轮说原本的精神一样，戴震用以解释太阳系的运动轨道问题。首先是日循而行的黄道，考虑到岁差的影响，戴震和江永一样，设想日循黄道以外，还有一个形成日行之盈缩迟疾，高下逆顺变化的“左旋之规”，把它叫本轮。应该说，江、戴指出的日循黄道中的高下逆顺、以成盈缩迟疾的运动是存在的，其本质是日、月、行星对地球的引力引起地轴进动（形成岁差的根源）而造成的视运动位置差。戴震说：“日躔黄道，其高下逆顺，以成盈缩者曰左旋之规。（今步算家名‘本轮’，下半周去地近为卑，极近为最卑，又名‘高冲”；上半周去地远为高，极远为最高；本轮之左右远近高卑适中为中距。）中其规属于黄道。循黄道而右，所谓平行者此也。凡三百六十五日小余不及四分日之一适终其道，谓之经岁。（名‘平岁实’，亦名‘恒岁实’。）其周曰右旋之轨。（名‘均轮’，以近本轮心为最近。）中其规属于左旋之规。随之而左，（名引数。）岁不及一终，（今步算家谓差数为最卑岁行，又剖之为最卑日行。）积至五十余年而差及一度。”①至于月亮循月道运行也有迟疾变化，其根源也是岁差的关系。古代曾经把这种日月迟疾看作人事攸关。《宋书·律历志》载魏明帝景初元年杨伟上《景初历表》说：“凡五星行天，迟疾留逆，虽大率有常，至犯守逆顺，难以术推。日之行天，犹有迟疾，况五星乎？唯日月之行天有常，进退有率，不迟不疾，不外不内，人君德也。”戴震为唯物地解释月球运行的迟疾变化，也设计了本轮和均轮，他说：“月道（今名‘白道，），其高下之规法，以生迟疾者曰左旋之规。（名‘本轮’，其 最卑名‘入转’，最高名‘月孛’。）中其规属于月道。循月道而右，凡二十七日近少半日平行终其道。其周曰右旋之规。（名‘均轮’）中其规属于左旋之规。随之而左，（名‘转周’）不及一终而差数生焉。（今步算家谓差数为最高行，又名‘月孛行’）。三千二百三十余日差数之积满一周。”①戴震是可以不借助于本轮、均轮之说来说清日月盈缩迟疾（可用岁差），从而同古历学中的唯心主义彻底划清界限的。本轮、均轮之说本身是错误的，以错误的理论来解释正确的看法，大可不必，所幸戴震正面阐释古天文学，仅用本轮、均轮为之注，应该说，戴震在古历研究中采用西土本、均轮之说，完全是形而上学的借鉴，但它毕竟是一次洋为中用的尝试，其精神仍应肯定。
八是对传统天文学的改造，为创建近代古天文学和天文学史的研究作了巨大努力，《古今岁实考》、《续天文略》是这一努力的成功之作。宋代郑樵（1103—1162）《通志》录《步天歌》，兼及其注文，继以《晋书》所列星官名“天津”的起没、十二次、分野，又参以《隋书》所列七曜，辑为《天文略》，虽郑氏声称不语休祥，但仍不免涉及灾祥休咎，关于十二次，因不知岁差，仅存各家之说，无由取舍和论其得失，至于星宿分野，因缺乏古代地理知识，也无从是正。戴震认为，“天文一事，樵所不知，而欲成全书（按：指《通志》全书），固不可阙而不载，是以徒袭旧史，未能择之精，语之祥也。”②而戴震对古天文研究的构思是：“今更为目十：曰星见伏昏旦中，曰① 《迎日推策记》，见《戴震集》，上海古籍出版社1980 年版115 页。① 《迎日推策记》，见《戴震集》，上海古籍出版社1980 年版至116 页。② 《安徽丛书》第六期《续天文略序》。
列宿十二次，曰星象、曰黄道宿度，曰七衡六间，曰咎景短长，曰北极高下，曰日月五步规法，曰仪象，曰漏刻。或补前书闷遗，或赓所未及，凡占变推步不与焉。考自唐、虞以来，下迄元、明，见于六经史籍有关运行之体者，约而论之著于篇。”①完全以唯物主义的科学态度审视传统天文学，总结其战果，构思其学术体系，从而写出了体现近代科学水平的古天文学教科书：《续天文略》。至于该书的主要成就，前面叙述的八个方面在该书都有所体现。① 《安徽丛书》第六期《续天文略》。
三、《勾股割圆记》的主要成就
《勾股割圆记》及其托名吴思孝的注是戴震最完整、篇幅最长的数学著作，清秦蕙田《五礼通考》全载其上中下三篇，乾隆三十八年（1773）曲阜孔继涵刻《算经十书》时，亦收入《策算》和《勾股割圆记》②。恩格斯曾说：“天文学只有借助于数学才能发展，因此也开始了数学的研究。”③从科学史的发展看确实如此，有趣的是，王锡阐、梅文鼎、戴震的数学研究都是为农业生产“绝对需要它”①的天文学服务，为解决天文学问题而系统研究数学的。托名吴思孝的戴震自序说：“《勾股割圆》之书三卷，余友戴君东原所撰，戴君之于经，分数大端，各究洞源委，步算其一也？？今夏初，戴君以所为《勾股割圆记》示余，读其文辞，始非秦汉已后书，其于古今步算之大全，约以二千言而尽，可谓奇矣。”②可见《割圆记》的写作目的和内容都与古代天文研究有关。
数学是在世代系列的人类社会实践中逐渐累积和发展起来的，它始终体现了运动的最普遍的本质：“吸引和排斥这一古老的两极对立。”③数学研究，当然能涉及“普遍联系”的辩证关系。戴震的《勾股割圆记》比相同的数学对象的其他研究还多了一层，除了勾股定理在种种较为简单的和最为复杂的等式和不等式关系中的运用以外，还有中法表达和西法表达的相同和不同含义的处理，戴震的这一名著，十分正确、贴切地处理了这些有“普遍联系”的关系，形成了一个和谐的整体。从“普遍联系”去看全书内容，有两个大的方面，一是有关勾股弦关系的基本概念的解释，二是勾股应用割圆术。（一）基本概念的解释要点1、《记》上：“割圆之法，中其圆而觚分之，截圆周为弧背， （按：gèng 连接两端）弧背之两端曰弦，值弧与弦之半曰矢。”按：这里给弧、弦、矢下了定义。其含义为：圆内两直径相交，截成两两相等的弧，连接弧的两端就是弦，过弦作垂直平分线交于弧叫矢。如任取圆周之一弧而连接其两端成一弦，原理同。
② 《勾股割圆记》有种种版本，《五礼通考》本分上中下三篇共2417 字，有图注和托名吴思孝的补注。段玉裁经韵楼本三篇共2268 字（四部丛刊本《戴东原集》依此）。孔继涵在乾隆四十二年（1777）刊《戴氏遗书》，将《割圆记》四篇作为《原象》的五、六、七、八（《原象》的一至四为“璇玑玉衡”、“中星”、“土圭”、“五纪”，段玉裁曾谓此四篇合《割圆记》三篇，再加《迎日推策记》为《原象》，但经韵楼本又将《割圆记》三篇另列，不与《原象》四篇同卷，这与《戴氏遗书》本大不同），共2785 字（《昭代丛书续篇补》依此）。微波谢本三卷，共2735 字，为安徽丛书第六期《戴东原先生全集》所本，有吴思孝注和图注，本书对《勾股割圆记》的研究以安徽丛书本为据。
③ 《自然辩证法》人民出版社1971 年版162 页。
① 《自然辩证法》人民出版社1971 年版55 页。
② 《安徽丛书》第六期戴震《勾股割圆记》托名吴思孝序。
③ 《自然辩证法》人民出版社1971 年版55 页。
① 《安徽丛书》第六期戴震《勾股割圆记》，本节有关戴震数学资料未注出处的皆见该书。并将《勾股割圆记》简称为《记》。
2、《记》上：“弧矢之内成相等之勾股二，半弧弦为勾，减矢于圆半径，余为股。勾股之两端曰径隅，亦谓之弦，勾股之弦得圆半径也。”
按：径隅为《周髀算径》的旧名。承1，将弦的中垂线交于圆之两端，形成以圆心为顶点的两全等直角三角形，该直角三角形的弦等于圆半径，戴称之为径隅。戴震认为，此原理对求解天球黄道赤道夹角等极有用，由弧长求勾股，由勾股求弧长和矢（按：均可，因半径为定值），由弧、矢而承勾股求出整个圆面，“步算之能事毕矣”。天文推步在勾股割圆中得到说明。3、在注释本中，戴震详细介绍了圆周率的计算方法和历史。
4、《记》上：“勾股弦三矩方之，合勾与股三方适如弦之大方。”
按：戴震在注文中详细介绍了溯自《周髀算经》中的勾股定理，今之表达甚简：设勾股弦为abc，则c2=a2＋b2以上由勾股割圆中的一些基本概念（名称）、定义的确定、圆周率和勾股定理的介绍，明确了戴震研究勾股割圆术的基本点。所谓“勾股割圆”实际上是指直角三角形与圆面（即过圆直径的圆内接直角三角形）的同一性关系的处理。以上基本点无疑是处理这一同一性关系的数学基础。应该说，把这种带有自然辨证哲学特点的同一性关系放到门类科学中去看，它将是十分复杂的，戴震研究的勾股术就是这种同一性在数学上的复杂的具体表现，透过数学研究，我们看到的正是著作者的科学头脑，辩证思路和逻辑方法。（二）勾股割圆术的应用要点的分析1、《记》上：“有勾有股求其弦：勾自乘、股自乘，并之开方得弦。”
按：此即用公式：c= a b 2 2 ＋2、即用公式：b= c a 2 2 …3、即用公式：a= c b 2 2 … 对此，戴震还看到与第二术的联系。《记》上云：“凡曰勾曰股者其名可互易，故与第二术同。”
在第三术中，戴震又说：“减矢于圆经，余为股，弦和矢恒为股弦较（凡两数相并为和，相减余为较），和、较相乘为勾之方。
按：设：圆内以圆心为顶点的直角三角形勾、股、弦为a、b、c，矢为S，半径为R，则：b＝R 一S，S（矢，又称股弦较）＝c 一b＝R 一b，（R＋b）（R 一b）＝a2 亦即a2=（c＋b）（c…b）。其实，此定理还可推广成：圆内两任意直线相交，各直线被圆和交点切成的两线段之积相等。戴震其时尚未识此。在第三术中，戴震说：“减勾于圆半径，余为次弧背之矢。倍股为次弧弦。减次弧背之矢于圆径，余为勾。弦和其矢为勾弦较，和，较相乘为股之方。”
按：如图，戴震意谓为次弧背，GF 为次弧背之矢。则：①GF=OFOG=OF…CB②BE=2BG=2OC③CB=OG=OF…GF④OC2=BG·GE=GF·GH 戴震的这一勾股术，实际上将过圆心的直角三角形推广到圆内接长方形观察之。戴说甚确。4、《记》上：“有半弧弦（又名内矩分），有矢，求其圆径，半弧弦自乘，矢除之，加矢，为圆径。”
按：戴震术语中的内矩即弦，内矩分即弦之半。此处的圆径指直径而言，如图：已知a、s，求2R，则据圆内直线相交定理：a2=s（R…s＋R）a2=2Rs…s2 2R=as2＋s。
5、《记》上：“有矢，有圆径，求半弧弦，以矢为股弦较，于圆径减矢余为股勾和，和、较相乘，开方得勾，勾即半弧弦，倍之为全弦。”
按：用上图，设6 为直径，则据圆内直线相交定理a2s（d…s） a= sd s … 26、《记》上：“有半弧弦，有圆径，有矢。以半弧弦与圆半径相减得次弧背之矢，为勾弦较，相并为勾弦和，和较相乘，开方得股，股即次半弧弦（又名次内矩分），以减圆半径得矢”。
按：此题可按§4 图解之，已知a、d，求s，则s（d…s）=a2s2…sd＋a2=0 需解一元二次方程得s，戴震当时尚未识此。戴解此题的思路是用另§3 图解得的。设：DC 为s，勾BC 为a，OB 为R，则GF=R…a，GH=R＋aOC2=BG·GE=GF·GH=（R…a）（R＋a） OC= （ ）（ ） R a R a ＋ … OC=BG，即戴震所谓次内矩分、次半弧弦。S=R…OC=R…BG=R… （ ）（ ） R a R a ＋ …十分清楚，戴震的勾股第四、五、六术联系十分紧密，如从代数学角度看，是同一代数式设不同未知数解方程。戴震是从几何学去寻觅不同联系的。第六术中戴震还说：“方圆相函之体，用截圆之周径而函勾股和、较之率，四分圆周之一如之。规方之四隅而函圆之周，凡四觚（按：gū角）如之。因方以为勾股，函圆之半周，凡三觚如之。”
按：为解释此说，戴震共画了五个图，意思是说在正方形，任意四边形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形端点画圆截弧，前两者弧之和均为360°，后两者均为180°。这实际上是把多边形与圆联系起来探讨两者的关系，结论是，任意四边形内角和总是等于一个圆，任意三角形内角和总是等于半个圆。这无疑是正确的。
此外，在第六术中，戴震还举出了勾股术在工程上的应用，如测水平、测高度、测深度、测距离等。戴震十分讲究技术应用，基础理论和技术应用之间没有鸿沟，虽然它们的前提都挂上为解经服务，但科学和技术实际上都成了独立研究的对象。
7、《记》上：“有次矩分，求矩分，以积矩为实，次矩分为法，除之得矩分。”又说：“有矩分求次矩分，以积矩为实，矩分为法，除之得次矩分。”按：这实际上是戴震把长方形和圆联系起来考察，视长方形为圆内接长方形，矩分为边长，积矩为矩分和次矩分之积，实际上是长方形面积，“实”为被除数，“法”为除数。戴说甚明。戴震明确指出：“右即�
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