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万能数据-第88部分
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“教授，我们投稿哪个期刊？”程诺脸色兴奋的问。
方教授淡淡一笑，悠然开口，“《Inventiones mathematicae》”
第三百四十七章 毕业论文
347章
《Inventiones mathematicae》和《Annals of Mathematics》，是数学界最顶尖的两个期刊，被誉为数学界的《自然》与《科学》。
两者都属于一区的期刊，影响因子也都在10以上。
虽然与《自然》和《科学》40多的影响因子还有些差距，但在数学界内，已然属于最高的两家期刊。
自然，影响因子越高，投稿期刊被收录的难度越大。
能在《Inventiones mathematicae》上刊载论文的，大多都是在世界范围内享誉盛名的数学大牛。
即便像方教授这种在华国应用数学领域顶尖的数学家，也未曾在两家期刊上发表过一篇论文。
不过，这次方教授之所以笃定的将证明论文投稿到这家期刊，自然是有着十足的自信。
就弱BSD猜想的证明过程和难度来说，是绝对有资格将具体的证明过程刊载在上面。
论文的署名处是方教授和程诺两人共同的名字，这没有任何疑问。
方教授虽然在影响力方面比不上那些顶尖数学大牛，但在世界范围内也算小有名气，有方教授署名，也不至于这篇猜想证明论文会直接石沉大海。
将一百多页的论文转为PDF格式，进入《Inventiones mathematicae》期刊的官网，方教授顺利投稿。
剩下的，便是等消息了。
短则一两个月，长则小半年，期刊方便会进行回复。
“好了，安静等消息吧。”方教授关上网页，摘下老花镜，扭头对程诺笑道。
程诺轻呼一口气，“总算能够休息一段时间了。”
方教授点头笑了笑，“确实，最近这一年时间，你确实是辛苦了。这样吧，给你放一个月假，一个月后，我再给你安排新的任务。”
“还有任务？”程诺一张脸瞬间哭了下来。
“你这个年龄，正处在疯狂汲取知识的阶段，松懈一下可以，可一直松懈下去的话，可就把你这一身的天分都给浪费掉了！”方教授笑眯眯的开口。
程诺认命般的点点头，“好吧。那教授，能不能透露一下，我的新任务是什么？”
方教授干咳一声，“还没想好。”
程诺：“呃……”
方教授摆摆手，“总之，不会闲着你就是了。”
“这几天你又是美赛，又是整理论文的，应该也累了，回去休息休息吧，等新任务有消息了，我再联系你。”
“那行。”程诺点头。
…………
转眼，半月的时间过去。
经过一个月的调整，程诺也从之前忙绿的状态缓过来。
每天正常作息，早睡早起，日常就在校园中度过，日子也算过的悠闲。
除了学业外，没有了其他工作的束缚，时间也能自由支配，简直美滋滋！
三月初，天气由冷转凉。
程诺坐在图书馆一处的角落里，抵着下巴在思考。
而思考的内容，便是关于他的毕业论文。
按照方教授的安排，这学期，他将结束本科阶段所有的课程，可大多数大四学长一样，拿到数学专业的学位证。
而毕业论文和毕业答辩，则是在毕业之前程诺必须面对的一关。
本来，对于清华的学生来说，通过毕业前的毕业答辩并不算一间多么困难的事。每年学校内因为毕业答辩不通过而拿不到学位证的学生绝对一双手都能数过来。
因此可以说明，毕业答辩的标准不会太过于严格。
但，那是对应届毕业生而言。
程诺可是直接将四年课程缩短为两年读完的天才，标准自然会有所不一样。
方教授已经提前和程诺通过一次气，说是想要顺利通过毕业答辩的话，最好是准备一篇和自身数学水平相当的毕业论文，否则，答辩组的那几个老师，恐怕不会这么容易的让程诺拿到毕业证。
这就让程诺有些牙疼了啊！
和自己数学水平相当的论文？
程诺问过方教授这句话的潜台词。
方教授告诉程诺，简单来说，学院方面，是希望程诺能准备一篇有资格被一区底层SCI期刊收录的毕业论文。
嘶——
程诺倒吸一口凉气。
我……原来有这么厉害吗？
那可是一区SCI期刊论文，虽然说只是那些排名靠后的SCI期刊，但影响因子也有五六个点。
即便是华国高校的一些教授级别的人物，也不是说随随便便就能写出一篇一区论文的。
别的同学或许一篇国内核心期刊水平的论文就能拿高分，二，三区的SCI期刊的论文就能拿满分，可自己倒好，一区SCI期刊水平的论文才有被答辩组入眼的资格。
唉，这年头，天才难做啊！
看来随便写一篇二、三区水平的SCI论文浑水摸鱼的通过毕业答辩已经变成一件不太现实的事情。
如此，只能正面刚了。
这也是为什么程诺呆在图书馆思考毕业论文内容的原因。
在他的书桌上，摆放着一大摞书。
《泛函分析》、《数学物理方法》、《近代数论综述》……
程诺眼神空洞无神，看似神游物外，实则脑海中则在不停的高速运转。
脑海里可以当做一篇论文展开的理论不少，但论学术价值都没有多高，远没有达到程诺要求的水平。
泛函方程的空间理论？
不行。这方面知识太简单，很难有什么高深的见解。
那非线性发展方程和无穷维动力系统？
这个也不行，偏微分方程目前还不是自己深研的领域。
…………
思绪纷飞的程诺，无奈的睁开眼，他叹口气。
还是没有思路啊？
他扭扭脖子，随手拿起桌上那本《近代数论综述》，随缘的随便翻到一页。
书页的标题： Bertrand 假设。
程诺目光从头开始浏览。
Bertrand 假设，其内容是：对任意自然数 n ≥ 2，至少存在一个素数 p 使得 n &；lt； p &；lt； 2n。
是1845 年由法国数学家 Joseph Bertrand 作为一个假设提出的。 Bertrand 对 3000000 以内的情形进行了验证。 1850 年，俄国数学家 Pafnuty Chebyshev （1821 … 1894）给出了该假设的第一个严格证明。因此 Bertrand 假设有时也被称为 Chebyshev 定理。
用了两个小时的时间，程诺才把Chebyshev 给出的具体证明过程看完，然后眉头紧紧皱起。
复杂，实在是太复杂了！
Chebyshev 的证明过程，除了复杂二字，程诺再也找不出其他任何的评价。
那一堆堆的公式字符看的程诺这个早就习惯的人都有些头皮发麻。
就在程诺收拾心情，准备往后翻页时，手中的动作突然停住，脑海里，似乎想到了什么……
第三百四十八章 彼得尔
348章
灵感，总是来的这么措不及防！
程诺嘴角微微一勾，将书页翻回原本那一页。
既然Chebyshev （切比雪夫）给出的Bertrand 假设的证明过程如此复杂，那么，自己就挑战一下，看看是否能够用更加简便的数学语言证明Bertrand 假设吧。
顺便，来验证一下，这一年的深入钻研，自己的能力究竟到了何种地步。
Bertrand 假设的简单证明方法。
光是这个论文题目，就足以被称得上是一区水平的论文。当然，前提是程诺真的能够探索出来那条简单的解法。
就如程诺之前所假设过的。数学界每一个猜想或者假设的证明过程都是由起点走到终点的过程，有的路线曲折，有的路线笔直。
而或许，切比雪夫发现的是那条比较曲折的路线，而程诺，则需要在前人的基础上，开辟出一条更加简捷的道路。
但这却比单独证明Bertrand 假设要简单。
毕竟是站在巨人的肩膀上看待问题，有了切比雪夫这位“开荒者”提出的证明方案，程诺或多或少的也能从中汲取到什么，并进行独到的理解。
想到就做！
程诺不是那么犹豫不决的人。反正时间充裕，容得程诺在发现“此路不通”后，重新寻找另一个论文方向。
想要提出更加简便的方案，首先要把前人提出的证明思路吃透。
他没有火急火燎的直接开始自己的钻研，而是低下头，从头到尾的阅读书中关Bertrand 假设的那十几页内容。
两个小时后，程诺合上书。
闭着眼回味了几秒，他从书包中掏出一摞空白的草稿纸，拿起桌面上的黑色碳素笔，聚精会神的开始了自己的推演：
想要证明Bertrand 假设，就必须证明几个辅助命题。
引理一：【引理 1：设 n 为一自然数， p 为一素数，则能整除 n！的 p 的最高幂次为： s =Σi≥1floor（n/pi）（式中 floor（x）为不大于 x 的最大整数）】
这里，需要将从 1 到 n 的所有（n 个）自然数排列在一条直线上，在每个数字上叠放一列 si 个记号，显然记号的总数是 s。
关系式 s =Σ1≤i≤n si 表示的是先计算各列的记号数（即 si）再求和，由此得到的关系，便是引理1。
引理二：【设 n 为自然数， p 为素数，则Πp≤n p &；lt； 4n】
用数学归纳法。 n = 1 和 n = 2 时引理显然成立。假设引理对 n &；lt； N 成立（N &；gt； 2），我们来证明 n = N 的情形。
如果 N 为偶数，则Πp≤N p =Πp≤N…1 p，引理显然成立。
如果 N 为奇数，设 N = 2m ＋ 1 （m ≥ 1）。注意到所有 m ＋ 1 &；lt； p ≤ 2m ＋ 1 的素数都是组合数（2m＋1）！/m！（m＋1）！的因子，另一方面组合数（2m＋1）！/m！（m＋1）！在二项式展开（1＋1）2m＋1 中出现两次，因而（2m＋1）！/m！（m＋1）！≤（1＋1）2m＋1 / 2 = 4m。
如此，便能……
程诺思路顺畅，几乎没费多大功夫，便用自己的方法将这两个辅助命题证明出来。
当然，这不过是才走完第一步而已。
按照切比雪夫的思路，后面还需要通过这两个定理引入到Bertrand 假设的证明步骤中去。
切比雪夫用的方法是硬凑，没错，就是硬凑！
通过公式间的不断转换，将Bertrand 假设的成立的某一个，或者某几个充要条件，转换为引理一或者引理二的形式，在进行化简整合求解。
当然，程诺肯定不能这么做。
因为用这种求证方案的话，别说是程诺，就算是让希尔伯特来，恐怕证明步骤也不会比切比雪夫简单多少。因此，必须要转换思路。
但是究竟怎么一个转换法……
呃……程诺还没想好。
眼看日头西斜，又到了吃完饭的时间，程诺一边脑海中思索，一边漫步走向食堂。
…………
于此同时，远在大洋彼岸的米国。
《Inventiones mathematicae》杂志的总部，就设在米国的洛杉矶。
作为数学界内顶尖的SCI期刊之一，每年他们大概会收到来自全国各地数学家的数万次投稿。
但最终有机会得到刊载的论文的，却只有不到两百篇。
并且，这两百篇学术论文当中，有几乎五分之四的份额被当世最顶尖的那几位数学家占据。
如代数几何领域的Peter Scholze。
微分几何领域的Richard Hamilton。
数学分析领域的Jean Bourgain 。
等等等等……
所以，审稿编辑在审稿的时候，并非按照投稿顺序进行审阅，而是按照署名作者的学术水批评作为标准。
毕竟，学术水平越高的著作者，达到期刊收录标准的可能性越高。而每期期刊的收录论文数量大体是上下浮动的一个数值，但浮动不大。
这样的话，便能大大节省审稿编辑的时间。
能在这样数学界顶尖的期刊担任审稿编辑，自身也并非籍籍无名之辈。
比如说，《Inventiones mathematicae》的审稿编辑之一，拉菲…彼得尔，就是以为曾经获得过拉马努金奖的知名数学家。
目前，他除了是这家期刊的审稿编辑外，还担任加州大学洛杉矶分校的客座教授，主攻领域解析数论。
作为一位多名头衔加身的数学大牛，他不可能每天像上班似的朝九晚五的呆在办公室内审阅稿件。
一般来说，他都是每周抽出一个或者两个上午的时间，呆在自家的公寓里，审阅那些由普通审稿编辑发过来的，几篇顶尖数学家的投稿，和一些不太知名的数学家发来，但被他们认为有收录资质的投稿。
但多数情况下，由于普通审稿编辑自身数学水平不高的原因，那些选拔上来的邮件只有很少部分符合期刊的收录标准。
上午八点。
彼得尔教授悠闲的泡了一杯咖啡，坐在阳台上，一边审阅着笔记本电脑上显示的投稿，一边悠闲自得的小口饮啜。
“最近这段时间数学界有点平静啊！”拉斐尔关上一篇论文，小声轻叹一句。
最近这几个月，随着ABC猜想之争的落幕，整个数学界都陷入了一篇平静。或许，到了今年十一月菲奖颁发的时候，才会再次热闹起来吧。
慢慢悠悠，时间就来到十一点。
几位顶尖数学家投稿的七篇论文他已经全部审阅完。其中，有五篇论文的水平高于收录标准线。彼得尔标注了几个地方，让手下联系作者进行微修。
本来就打算这样结束今天的工作，不过想起来今天中午有人请客，倒是不用着急做午饭。
既然如此，那就再看上几篇吧。
彼得尔操控着鼠标，点开下一封邮件。
论文的标题：《当解析秩为1时，弱BSD猜想的证明》！
第三百四十九章 重大意义
349章
咦？
这个论文题目？
彼得尔眉头微微皱起，拿起咖啡的左手直接悬在半空中。
BSD猜想，并不属于彼得尔的研究领域。
但作为一位涉猎广泛的数学大牛，他自然是知晓关于BSD猜想领域的证明进程。
自从九年前，瑛国和德古国两位数学家证明出解析秩为0时，弱BSD猜想成立之后，整个关于BSD猜想的领域，便再也没有什么突破性的成果发表。
而这个原因并非是因为研究BSD猜想的数学家太少。
作为千禧年七大数学猜想之一，再加上那100万美金的激励，怎么会少得了投身于此领域的数学家。
就彼得尔自己了解的，那群站在世界数学顶端的数学家，研究内容包括BSD猜想的，就不下十人。
其中他的老朋友，目前担任加州大学伯克利分校数学院副院长的米歇尔教授，就是沉浸在BSD猜想领域长达十多年的顶尖数学家之一。
如今，看到这样一篇题目为《当解析秩为1时，弱BSD猜想的证明》的投稿论文时，难免会让比德尔感到些许惊讶。
即便是他这位并非钻研BSD猜想资深人士的他，都清楚的知道，一旦论文中的证明过程被验证为正确的话，那对BSD猜想的证明工作绝对起到巨大的推进作用。
定了定心神，彼得尔教授将手中的那杯咖啡放回桌面，老化镜片后的眼睛中，难得的露出无比认真的神色。
略过题目之后，他先望向这篇论文的署名作者。
方若愚，程诺。
华国人？
彼得尔对此并不奇怪。
华国现在在世界数学界的地位在逐年提高，并且随着几位华国数学家的崛起，这种势头更是愈发明显。
如今以米国、瑛国为首的几个数学大国，都在努力提高自身水平，培养优秀数学家，避免一不留神，就会被华国迎头赶上。
彼得尔一直以来对待华国数学界都没有任何轻视的态度，对待华国数学家的投稿和其他国家一视同仁的态度。
况且，两人之中，还有一个他听起来比较耳熟的名字：方若愚。
他几年前受邀去华国讲学一段时间，和方教授有几次交谈，深感华国这个地方果然是藏龙卧虎。
但但是方若愚这个名字在，彼得尔就没有任何轻蔑的念头。
或许，这位华国数学家，真的能给整个数学界带来惊喜，也说不定？
彼得尔微微失神了几秒，随后不再犹豫，一行行的浏览论文。
滴答~滴答~
一旁，时针不停的转动。
彼得尔就坐在阳台的竹椅上，神色无比认真严肃的研读着论文中的内容，仿佛忘记了时间的流逝。
而摆在客厅茶几上的手机，一直在嗡嗡作响，但彼得尔丝毫未察觉。
时间缓缓流逝，而墙壁上的时钟，也来到了下午三点三十分。
不知不觉间，彼得尔教授已经看了那篇论文四个多小时。
可以说，这是在彼得尔担任期刊审稿编辑以来，从来未有过的。
阳台上，似乎感觉到脖子的酸痛，彼得尔终于从那布满公式的论文中被拽回了现实。
彼得尔活动活动有些酸涩的脖子，抬起手腕，看了一眼时间。
“已经下午三点多了吗？真的是让人沉迷呢！”说完这句话，彼得尔似乎想到了什么，急忙站起来，匆匆跑到客厅，拿起茶几上的手机。
十多个未接电话，显示在手机屏幕上。
“oh，my god！”彼得尔懊恼的一拍脑袋。
和友人越好要今年中午请客吃饭，没想到他竟沉迷在那篇论文当中，彻底忘记了这档子事。
他打回电话，道歉了十多分钟，并付出了好几顿大餐的代价，才获得友人的原谅。
挂断电话，彼得尔拿着手机回到阳台，望着电脑屏幕上造成此事的“罪魁祸首”，苦笑一下，“数学的魅力，真的是让人欲罢不能啊！”
四个小时，显然不够看完这篇100多页论文的全部。但彼得尔也差不多看到三分之二的进度，心中也有一个自己的评判。
可以说，这是他最近半年时间看到的最惊艳绝伦的一篇论文。
尤其是“Eisenstein series理论”的那一段运算，简直就是神来之笔，当时看到这的时候，他都忍不住拍腿叫好！
究竟是何等聪慧的大脑，才会想到这个突破口！
amazing！
彼得尔压抑住自己急促的呼吸，拿起手机，拨通了一个电话号码。
加州大学伯克利分校的米歇尔教授。
也是他那位研究BSD猜想十多年的顶尖数学家。
“噢，彼得尔，怎么想起给我打电话了？我现在正带着几个小家伙忙一个课题，可没时间和你聊天。”米歇尔接通后，便笑着问道。
彼得尔接着开口，“我的老朋友，我打这个电话，可不是为了和你聊天的，我的时间也同样宝贵。”
“哦？那有什么事？”
“我最近收到一份论文投稿，来自华国的两位数学家。”
“这和我有什么关系，我对你们杂志社的事情不敢兴趣。”
“不，你会感兴趣的！”
“嗯？”
“他们投稿的那篇论文的名字，叫做当解析秩为1时，弱BSD猜想的证明。”彼得尔悠然自得开口，仿佛说了一件无关紧要的事情。
“什么？！”电话那边的米歇尔教授惊讶的出声。“那篇论文真的把弱BSD猜想证明出来了？”
“我还未看完全部，不过从我目前看完的内容来说，问题不大。”彼得尔强压住心中想要在老朋友面前炫耀的感觉，轻轻开口，“需要我把论文发一份给你吗？顺便帮我把把关。”
彼得尔这么做并不违反规定。有时候，确实有一些投稿来的论文，无法判断某些地方的专业内容是否正确，这时候，就需要向专门擅长这领域的数学家求援。
更何况，是涉及某个七大猜想的弱猜想的证明过程。
电话那头沉默了良久。
许久，彼得尔才听到那边传来轻轻一叹，“发我邮箱里吧。”
“OK！”彼得尔爽快回应。
挂断电话，彼得尔才想起来自己还没吃午饭，拿起手机定了个外卖，彼得尔坐回电脑前，先是将论文拷贝一份发给米歇尔，然后继续浏览未读完的内容。
一边看，还一边啧啧称叹。
第三百五十章 搞定毕业论文
350章
另一边，华国。
经过一夜的思考，困惑程诺终于对自己的毕业论文有了新的思路。
关于两个引理的运用，程诺有他自己独到的见解。
所以，这天白天的课一结束，程诺便匆匆赶到图书馆，随便挑了一个没人的位置，拿出纸笔，验证自己的想法。
既然将两个引理强加进 Bertrand 假设的证明过程中这个方向行不通，那程诺想的是，能否根据这两个引理，得出几个推论，然后再应用到 Bertrand 假设中。
这样的话，虽然拐了个弯，看似比切比雪夫的方法还要麻烦不少。但在真正的结果出来之前，谁也不敢百分百就这样说。
程诺觉得还是应该尝试一下。
工具早已备好，他沉吟了一阵，开始在草稿纸上做各种尝试。
他有不是上帝，并不能很明确的知晓通过引理得出来的推论究竟哪个有用，哪个没用。最稳妥的方法，就是一一尝试。
反正时间足够，程诺并不着急。
唰唰唰~~
低着头，他列下一行行算式。
【设 m 为满足 pm ≤ 2n 的最大自然数，则显然对于 i &；amp；amp；gt； m， floor（2n/pi）… 2floor（n/pi）= 0 … 0 = 0，求和止于 i = m，共计 m 项。由于 floor（2x）… 2floor（x）≤ 1，因此这 m 项中的每一项不是 0 就是 1……】
由上，得推论1：【设 n 为一自然数， p 为一素数，则能整除（2n）！/（n！n！）的 p 的最高幂次为： s =Σi≥1 【floor（2n/pi）… 2floor（n/pi）】。】
【因为 n ≥ 3 及 2n/3 &；amp；amp；lt； p ≤ n 表明 p2 &；amp；amp；gt； 2n，求和只有 i = 1 一项，即： s = floor（2n/p）… 2floor（n/p）。由于 2n/3 &；amp；amp；lt； p ≤ n 还表明 1 ≤ n/p &；amp；amp；lt； 3/2，因此 s = floor（2n/p）… 2floor（n/p）= 2 … 2 = 0。】
由此，得推论2：【设 n ≥ 3 为一自然数， p 为一素数， s 为能整除（2n）！/（n！n！）的 p 的最高幂次，则：（a） ps ≤ 2n；（b）若 p &；amp；amp；gt；√2n，则 s ≤ 1；（c）若 2n/3 &；amp；amp；lt； p ≤ n，则 s = 0。】
一行行，一列列。
除了上课，程诺一整天都泡在图书馆里。
等到晚上十点闭馆的时候，程诺才背着书包依依不舍的离开。
而在他手中拿着的草稿纸上，已经密密麻麻的列着十几个推论。
这是他劳动一天的成果。
明天程诺的工作，就是从这十几个推论中，寻找出对Bertrand 假设证明工作有用的推论。
…………
一夜无话。
翌日，又是阳光明媚，春暖花开的一天。
日期是三月初，方教授给程诺的一个月假期还剩十多天的时间。
程诺又足够的时间去浪……哦，不，是去完善他的毕业论文。
论文的进度按照程诺规划的方案进行，这一天，他从推导出的十几个推论中寻找出证明 Bertrand 假设有重要作用的五个推论。
结束了这忙碌的一天，第二天，程诺便马不停蹄的开始正式Bertrand 假设的证明。
这可不是个轻松的工作。
程诺没有多大把握能一天的时间搞定。
可一句古话说的好，一鼓作气，再而衰，三而竭。如今势头正足，最好一天拿下。
这个时候，程诺不得不再次准备开启修仙大法。
而修仙神器，“肾宝”，程诺也早已准备完毕。
肝吧，少年！
程诺右手碳素笔，左手肾宝，开始攻克最后一道难关。
切尔雪夫在证明Bertrand 假设时，采取的方案是直接进行已知定理进行硬性推导，丝毫没有任何技巧性可言。
程诺当然不能这么做。
对于Bertrand 假设，他准备使用反证法。
这是除了直接推导证明法之外最常用的证明方法，面对许多猜想时非常重要。
尤其是……在证明某个猜想不成立时！
但程诺现在当时不是要寻找反例，证明Bertrand 假设不成立。
切尔雪夫已然证明这一假设的成立，使用反证法，无非是将证明步骤进行简化。
程诺自信满满。
第一步，用反证法，假设命题不成立，即存在某个 n ≥ 2，在 n 与 2n 之间没有素数。
第二步，将（2n）！/（n！n！）的分解（2n）！/（n！n！）=Π ps（p）（s（p）为质因子 p 的幂次。
第三步，由推论5知 p &；amp；amp；lt； 2n，由反证法假设知 p ≤ n，再由推论3知 p ≤ 2n/3，因此（2n）！/（n！n！）=Πp≤2n/3 ps（p）。
………………
第七步，利用推论8可得：（2n）！/（n！n！）≤Πp≤√2n ps（p）·Π√2n&；amp；amp；lt；p≤2n/3 p ≤Πp≤√2n ps（p）·Πp≤2n/3 p！
思路畅通，程诺一路写下来，不见任何阻力，一个小时左右便完成一半多的证明步骤。
连程诺本人，都惊讶了好一阵。
原来我现在，不知不觉间已经这么厉害了啊！！！
程诺叉腰得意一会儿。
随后，便是低头继续苦逼的列着证明公式。
第八步，由于乘积中的第一组的被乘因子数目为√2n 以内的素数数目，即不多于√2n/2 … 1 （因偶数及 1 不是素数）……由此得到：（2n）！/（n！n！）&；amp；amp；lt；（2n）√2n/2…1 · 42n/3。
第九步，（2n）！/（n！n！）是（1＋1）2n 展开式中最大的一项，而该展开式共有 2n 项（我们将首末两项 1 合并为 2），因此（2n）！/（n！n！）≥ 22n / 2n = 4n / 2n。两端取对数并进一步化简可得：√2n ln4 &；amp；amp；lt； 3 ln（2n）。
下面，就是最后一步。
由于幂函数√2n 随 n 的增长速度远快于对数函数 ln（2n），因此上式对于足够大的 n 显然不可能成立。
至此，可说明， Bertrand 假设成立。
论文的草稿部分，算是正式完工。
而且完工的时间，比程诺预想的要早了整整一半时间。
这样的话，还能趁热的将毕业论文的文档版给搞出来。
搞！搞！搞！
啪啪啪~~
程诺手指敲击着键盘，四个多小时后，毕业论文正式完稿。
程诺又随手做了一份PPT，毕业答辩时会用到。
至于答辩的腹稿，程诺并没有准备这个东西。
反正到时候兵来将挡，水来土掩就是。
要是以哥的水平，连一个毕业答辩都过不了，那还不如直接找块豆腐撞死算了。
哦，对了，还有一件事。
程诺一拍脑袋，仿佛记起了什么。
在网上搜索一阵，程诺将论文转换为�
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