x的奇幻之旅-第1部分

快捷操作: 按键盘上方向键 ← 或 → 可快速上下翻页 按键盘上的 Enter 键可回到本书目录页 按键盘上方向键 ↑ 可回到本页顶部! 如果本书没有阅读完，想下次继续接着阅读，可使用上方 "收藏到我的浏览器" 功能 和 "加入书签" 功能！


∑米∑花∑书∑库∑ ；http：//www。7mihua。com
　　　　欧文叔叔是我爸爸的弟弟，他和我爸爸一起在镇上经营着一家鞋店。欧文叔叔大部分时间都待在鞋店楼上的办公室里，负责处理财务方面的事情。这是因为欧文叔叔虽然很有数学头脑，却不善于跟顾客打交道。在我10岁或11岁的时候，欧文叔叔给我出了我人生中的第一道应用题。直到今天，我仍然清楚地记得那道题目，我想大概是因为当时我把这道题目做错了，而且为此羞愧了好长时间，所以我才会记得这么清楚。这道应用题是关于往浴缸里灌水的问题：如果只开冷水龙头，灌满浴缸需要半个小时；如果只开热水龙头，灌满浴缸需1个小时。问：如果把冷水龙头和热水龙头同时打开，灌满浴缸需要多长时间？我清楚地记得我的答案是45分钟，当然我完全是瞎猜的，我相信不少人都会想到45分钟这个答案。听到我的答案后，欧文叔叔摇了摇头、咧嘴笑了，然后，他开始用他那带着鼻音的尖细嗓音给我讲解这道题。

　　　　欧文叔叔说：“史蒂芬，你先要搞清楚每分钟有多少水流进浴缸。”冷水龙头30分钟能灌满浴缸，也就是说每分钟可以灌满浴缸的1/30。而热水龙头的水流量比较小，60分钟才能灌满浴缸，也就是说热水龙头每分钟可以灌满浴缸的1/60。那么，当你把冷水龙头和热水龙头同时打开，每分钟可以灌入浴缸的水流量就是：
第9章　应用题：冷热水龙头一起灌满浴缸需要多长时间？02
　　　　可见，如果把冷水龙头和热水龙头同时打开，每分钟可以灌满浴缸的1/20。也就是说，20分钟就可以灌满整个浴缸。

　　　　从那天以后，我不时会回想起欧文叔叔出的这道往浴缸里灌水的应用题。每次想起这道题，都会激起我对欧文叔叔的感情，以及我对这道题本身的兴趣。我觉得这道题里有一些更大的道理值得我们学习，那就是，当我们无法得到一个问题的准

　　　　确答案时，如何快速求得问题的近似解呢？又应该如何用直觉来解题呢？用直觉解出一道题时，我们常常会获得一种茅塞顿开的快乐。

　　　　首先，我们来考虑一下我最初瞎猜的答案：45分钟。我们只要思考两种极端情况，就可以立刻判断出45分钟这个答案绝对不可能是正确答案。实际上，45分钟这个答案是十分荒谬的。为什么这么说呢？让我们考虑一下这种情况：如果根本不开热水龙头，而只开冷水龙头，那么冷水龙头会在30分钟内把整个浴缸灌满。所以，不管欧文叔叔出的这道应用题的答案是什么，答案都绝对要少于30分钟。因为不管怎么说，让热水龙头来帮助冷水龙头一起灌水，绝对没有理由会延长水灌满浴缸的时间。1米1花1书1库1 ；http：//www。7mihua。com

　　　　当然，这个结论是很粗略的。得出这个结论以后，我们还是不知道同时打开两个水龙头到底需要多久才能灌满浴缸，在这个意义上，欧文叔叔的算法给出的信息量显然更大。但是，我的这种粗略的推导方法却有着欧文叔叔的算法所不具备的优点：我的方法并不涉及任何具体的计算。

　　　　另一种简化问题的方法是：假设这两个水龙头的灌水速度是一样的。比如说，我们假设单独开冷水龙头或者热水龙头，都能在30分钟内灌满浴缸（也就是说，假设热水龙头的水流量和冷水龙头的水流量相同）。现在的问题就很简单了，因为新的假设创造出了原题所没有的“对称性”（即两个水龙头的水流量相同），所以我们可以立即判断出，冷热水龙头一起开，灌满浴缸需要的时间是15分钟（因为水流量加倍了，所以灌满浴缸的时间应该减半）。

　　　　这种假设还可以立刻告诉我们，问题的精确解应该是大于15分钟的。为什么呢？因为我们夸大了热水龙头的水流量。两个水流量较大的水龙头灌满浴缸所需要的时间，显然应该大于一个水流量大、一个水流量小的两个水龙头灌满浴缸所需要的时间。欧文叔叔原题中的两个水龙头，一个水流龙头水流量大，一个水龙头水流量小；而我们现在假设两个水龙头都是大水流量的水龙头。既然两个大水流量的水龙头一起灌满浴缸需要15分钟的时间，那么一个大水流量的水龙头和一个小水流量的水龙头一起灌满浴缸所需要的时间，就必然超过15分钟。

　　　　以上，我们考虑了两种假设：一种是假设只开冷水龙头而关闭热水龙头，另一种是假设热水龙头的水流量和冷水龙头的水流量相同。通过考虑这两种极端情况，我们可以知道，此题的精确解应该是大于15分钟而小于30分钟的。在有些情况下，问题会比欧文叔叔的浴缸灌水问题更复杂。在有些情况下，精确解是不可能求得的，这种情形不仅在数学领域存在，在其他领域中也十分常见。在这样的情形下，上文的这种分析思路能帮我们确定精确解的范围，为我们提供非常有用的信息。
第9章　应用题：冷热水龙头一起灌满浴缸需要多长时间？03
　　　　就算问题没有那么复杂，就算我们有幸能够得到问题的精确解，上面的这种分析方法仍然是有用的。有时，通过上面的这种思路，可以找到更简洁或是更清晰的解题思路。这是数学问题中我们可以自由发挥创造性的地方。

　　　　比如，再回到欧文叔叔给我出的这道应用题上。欧文叔叔给出的解法是教科书上的标准解法，这种解法不仅涉及分数，还用到了最小公倍数的知识。其实，这道题还有别的更有意思的解法，其结果和欧文叔叔的答案是完全一致的。这个解法是我又年长了几岁以后才想出来的。当时，我回忆了一下欧文叔叔的问题，并且问我自己：为什么最初我会觉得这道题如此复杂，如此令人糊涂呢？答案是：因为两个水龙头的水流量是不一样的，所以我才搞不清楚；两个水龙头的水流量的差异是这道题目的难点。因为两个水龙头的水流量不同，要搞清楚同时灌水时每个水龙头分别灌了多少水，就变得比较麻烦。一冷一热两个水龙头同时放水，这些水又同时流进浴缸里，完全混到了一起：当我在脑海中想象出这么一个画面时，我的脑袋就像﹏米﹏花﹏书﹏库﹏ ；http：//__

　　　　那个浴缸一样，混乱一片，完全摸不着头绪。

　　　　怎么解决这个问题呢？其实非常简单，既然水的混合容易让人犯糊涂，我们不妨把两个水龙头彻底分开，让它们分别负责往不同的浴缸里灌水。我们可以发挥想象力，对题目稍作变动：现在我们不只是有一个浴缸和两个水龙头了；我们有一冷一热两个水龙头，每条水龙头下面都有一个传送带，传送带上排满了一个又一个的空浴缸。这两个传送带是完全分离的，冷水龙头和热水龙头分别有自己的传送带。如下图所示。
第9章　应用题：冷热水龙头一起灌满浴缸需要多长时间？04
二米二花二书二库二 ；__
　　　　在这样的假设条件下，冷水龙头和热水龙头是完全独立、互不干扰的。两个水龙头分别往不同的浴缸中灌水，完全不存在冷水和热水混合的情况。传送带是这样设计的：每当前一个浴缸灌满了水，传送带就会自动向前滚动，把后面的一个空浴缸送到水龙头下方，让水龙头继续灌水。

　　　　如此一来，问题就变得简单多了：60分钟以后，热水龙头正好灌满了1个浴缸，而冷水龙头已经灌满了传送带上的2个浴缸（因为冷水龙头灌满一个浴缸只需要30分钟）。也就是说，两个水龙头同时打开，60分钟共计灌满了3个浴缸，那么灌满一个浴缸需要多长时间呢？显然是60分钟的1/3，也就是20分钟。

　　　　究竟为什么大家（包括童年时候的我）在猜这道题的答案时会给出45分钟这个答案呢？为什么我们的第一反应总是去求解30分钟和60分钟的平均值呢？我也不知道。我想一种可能的解释是，听到这道题以后，我们的直觉自动开启了“模式识别”的功能，但可惜我们的直觉识别出了错误的“模式”。因为有些和这道题十分类似的题目，答案确实是两个数字的平均数，而我们的直觉把浴缸问题和那些问题弄混了，才会错误地给出45分钟的答案。当我和我的太太讨论这个问题为什么会出错的时候，我的太太用类比的方法给出了她自己的解释。她说，可以考虑这样一个问题，假设有一位老奶奶要过马路：如果无人帮助，老奶奶过马路需要耗时60秒钟；而你单独过马路则走得很快，只要30秒钟就够了。那么，要是你去搀扶老奶奶，你们手挽着手一起过马路需要多长时间呢？这个题目的答案就是45秒钟，因为过马路的过程中，老奶奶一直挽着你的胳膊，她能获得一些动力，所以她会比单独走的时候速度快一些；而你因为老奶奶的关系，速度会比自己单独走的时候慢一些。

　　　　那么，浴缸问题和老奶奶过马路问题的区别到底在哪里呢？那就是，你和老奶奶一起过马路的时候，你们会互相影响对方的速度。而在浴缸问题中，两个水龙头虽然同时在放水，但是灌水的速度是完全不受对方影响的。你和老奶奶是互相影响的，而两个水龙头是互相独立的，这是这两道题的本质区别。可惜我们的潜意识没有那么敏锐，无法第一时间发现这个重要区别。尤其是当我们急于立刻给出答案的时候，我们就在直觉思维的带领下直奔那个错误的答案去了。

　　　　好吧，只要我们能认识到自己错在哪里，那么即使是错误的答案也有它的教育意义。这个错误的答案让我们看到，我们的思维多么容易被错误的类比或毛躁粗心的判断所误导。在认清了自己所犯的错误以后，我们对这一类问题也有了更清晰、更深刻的认识。

　　　　很多经典的应用题都含有一些故意设计出来的陷阱，使得解题的人很容易受到误导。这种伎俩就像魔术师使用的华丽的障眼法。很多应用题的问法中故意埋藏了一些文字陷阱，如果你凭直觉回答，就会掉入这些陷阱。

　　　　比如，有这样一道题目：3个人可以在3小时内漆完3段篱笆，那么1个人漆完1段篱笆需要几个小时呢？
第9章　应用题：冷热水龙头一起灌满浴缸需要多长时间？05
　　　　听到这道题目以后，很多人会脱口而出：“1个小时。”这绝对是不假思考的答案。这道题读起来就跟顺口溜似的：3个人、3段篱笆、3个小时。这句话在你的脑海中建立起了一个鼓点般的韵律，所以当看到下一句—1个人、1段篱笆、_____个小时—的时候，你会情不自禁地想在空格处填上一个1。这种条件和问题的平行结构使得人们很容易给出一个语言音律学上感觉正确，但是数学计算上却完全错误的结论。这就是这道题的陷阱所在。

　　　　事实上，这道题的正确答案应该是3个小时。

　　　　如果你借助一点儿视觉上的帮助，在头脑中想象出题目里描述的画面—3个人在漆3段篱笆，并于3个小时以后同时完工—那么正确的答案就很容易得到了。3个小时结束的时候，3段篱笆都要油漆完毕，如果每人负责漆一段篱笆，显然，这个人要花整整3个小时的时间才能漆完这一段篱笆。l米l花l书l库l ；http：//www。7mihua。com

　　　　能不被表象所迷惑，冷静客观地审题，是答对本题的关键。在各种五花八门的应用题中，我们应该学习和训练自己的这种能力。这种题目强迫我们停下来，用一种我们所不熟悉的方式冷静地分析和思考。这样的题目，能够很好地训练我们的思维能力和分析能力。

　　　　但是我觉得，这还不是应用题最大的好处。应用题最大的好处在于，它不仅锻炼了我们关于数字的思考和分析能力，还让我们学会思考和分析数字与数字之间的关系（例如水龙头的出水速度和灌满浴缸所需时间之间的关系）。这种能力是每个学生在学习数学的道路上都必须掌握的。不掌握这种能力，就无法迈入数学学习的下一个阶段。很多人都缺乏这种能力，有些人始终无法熟练地掌握分析数字与数字之间关系的技巧。这并不奇怪，毕竟数字和数字之间的关系，比数字本身要抽象得多。但是，大家应该明白这样一个道理：数字和数字之间的关系，比数字本身要有用得多，也深刻得多。在我们的宇宙中，我们周围万事万物的内在逻辑，都可以用数字与数字之间的关系来表示。因与果、供与求、输入和输出、措施和效果，这些逻辑关系都可以抽象地表示为数字与数字之间的关系。正是因为数字和数字的关系如此重要，我们的数学教育里才会引入大量绕来绕去的应用题。这些应用题并不是为了为难我们，而是为了培养和锻炼我们的思维能力，让我们更好地掌握数字与数字之间的关系。

　　　　尽管如此，也有人对应用题的存在提出了一些批评意见。数学家和畅销书作者基思？德夫林曾经发表过一篇文章，题为“应用题的问题”。在这篇文章中，德夫林指出，应用题隐含着一种“潜规则”：首先，出题者假设你懂得游戏规则；然后，只要你选择做这道题，你就被默认为接受这道应用题的游戏规则。但是，这种游戏规则往往是人为生造的，有时候，有些规则甚至是非常生硬而荒唐的。比如，在我们上文引用的3个人3个小时油漆3段篱笆的应用题里，题面就隐含了以下两个假设：首先，3个人刷油漆的速度是完全一样的；其次，每个人都是匀速粉刷篱笆，中间没有人加速，也没有人减速。其实，上述两个假设都是很不现实的。但是作为解题人，你必须知道这道应用题里的这些潜台词，并且默认这些假设是成立的。因为如果不知道或不承认这些假设的话，这道题就太过复杂，而且因为信息不足而根本无法解答。如果你纠结于其中的细节，你就必须知道以下的所有信息：每个粉刷匠到底以一种什么样的速度在漆篱笆？是不是到了第3个小时，大家的体力都下降了，因此粉刷的速度就减慢了？如果情况是这样，粉刷速度究竟如何随时间减慢？每个粉刷匠隔多久会停下来休息，每次休息多久？诸如此类。显然，如果考虑这些问题，这道应用题根本就没办法解答。

　　　　从德夫林的角度来看，上述这些情况是应用题这种出题形式的“问题”和“漏洞”，但我觉得，对于我们这些从事数学教育的人来说，我们完全可以把这些问题和漏洞转化成应用题的“特色”。在出题的时候，我们应该明确题目中的这些隐含的假设，还应该告诉学生们，之所以需要做出这些理想化的假设，是因为只有这样才能简化问题，抓住问题的关键矛盾。千万别小看了这项能力，知道如何抓住问题的关键矛盾，而把次要的情况通过理想化的假设尽量简化，这个过程叫作“数学建模”。当各个领域的科学家把数学应用到各种实际问题中的时候，他们都一定会完成这个

　　　　“数学建模”的过程。和大部分应用题的命题人不同的是，科学家们通常会认真、严谨、明确地列出模型中用到了哪些假设，而在应用题中，这一步往往被省略掉了，所以有时难免造成一些误解和争议。

　　　　说到这里，我想要再次感谢我亲爱的欧文叔叔：谢谢你给我出了我人生中的第一道应用题，谢谢你给我上了一堂如此重要的数学课。那道我没能答对的应用题让我羞愧了很长时间，却也给了我很多正面的启迪和教育。
第10章　丑陋却万能的二次方程求根公式（1）
k米k花k书k库k ；www。7mihua。com
　　　　二次方程求根公式，可能是数学公式中最被“低估”的一个了。它可以说是数学界的罗德尼·丹泽菲尔德（美国著名的喜剧演员），虽然足够优秀，却总是得不到尊重。

　　　　显然，专业人士似乎并不是十分欣赏二次方程求根公式。曾经有过不少这一类的调查，让物理学家和数学家们列出他们所认为的史上最美或最重要的10个公式。

　　　　二次方程求根公式一次也没有入围。在这类“选美”比赛中，1＋1=2肯定每次都有一大群支持者；E=mc2也是名声在外，一再获选；勾股定理a2＋b2=c2看上去更是一副了不起的样子。但是，二次方程求根公式永远只能扮演灰姑娘的角色。

　　　　不得不承认，二次方程求根公式看上去确实很不美观。有不少学生会把二次方程求根公式当成一条咒语机械地背下来：“x等于2a分之负b加减根号下b的平方减去4ac。”还有的学生连背也背不下来，面对着这一大堆字母、符号、数字的组合，面如死灰，仿佛见了鬼，只会呆若木鸡地对着这个公式。这个令人闻风丧胆的求根公式是这样的：

　　　　x=（…b±√（b^2…4ac））/2a

　　　　只有当你真正了解了这个公式是用来做什么的，你才能透过它不甚讨人喜欢的外表，看到这个公式的内在美。希望通过这一章节的阅读，你能体会到这个公式所蕴含的智慧，能够对二次求根公式的起源和意义有一个更深入的了解。

　　　　在现实世界里，很多时候我们都需要解出一个未知变量的值。比如，治疗一个甲状腺肿瘤的时候，放射治疗的放射剂量应该多大为宜？如果想用30年的时间还清一笔数额为200000美元、年利率为5％的住房抵押贷款，那么每个月的还款额应该是多少？火箭的速度至少要达到多少，才可以摆脱地球引力？

　　　　随着代数的产生和发展，人类慢慢地摸索出了一些解决上述问题的方法和经验，并且逐步能够应付一些简单的求解未知变量的问题。在古埃及、古巴比伦、古希腊和古印度学者们的引导下，终于在公元800年左右，伊斯兰教国家的数学家们比较系统地拓展了这个领域。这一数学进步的原动力，是为了解决伊斯兰法律下的遗产计算问题。

　　　　假设一位寡妇去世的时候一共留下了10迪拉姆的遗产。这笔遗产由她的两个儿子和一个女儿继承。关于遗产分配，伊斯兰法律是这样规定的：两个儿子所继承的遗产份额应该相同，而每个儿子所得的遗产应该是女儿的2倍。现在的问题是：两个儿子和一个女儿分别应该继承多少遗产呢？
第10章　丑陋却万能的二次方程求根公式（2）
　　　　我们用未知变量x来代表女儿应该继承的遗产。虽然我们暂时还不知道x的值是多少，但是我们可以像处理普通数字一样处理x这一变量，对它做出各种各样的分析。既然法律规定每个儿子所得的遗产应该是女儿的2倍，那么显然每个儿子应该继承的金额为2x。这样，我们就可以知道，两个儿子和一个女儿总共继承的金额是x＋2x＋2x=5x，三人继承的总金额必须等于这位寡妇的遗产总额，也就是10迪拉姆。由此，我们得到5x=10迪拉姆。最后一步，我们把这个等式的两边都除以5，就可以解出x的值，即x=2迪拉姆。也就是说，女儿得到的遗产是2迪拉姆；因为每个儿子继承的遗产是女儿的2倍，因此每个儿子可以得到2x，即4迪拉姆的遗产。╬米╬花╬书╬库╬ ；http：//www。7mihua。com

　　　　注意，在上面的分析过程中，我们一共用到了两种数：一种是已知数，比如2、5、10；另一种是未知数，比如x。只要我们能够找出已知数和未知数之间的关系（这种关系通过方程式5x=10来表示），我们就可以慢慢地“变换”这个方程式，将方程式的两边同时除以5，从而解出未知数x的值。这个过程就好像雕塑家拿着手中的凿子一下一下地雕琢大理石。最终，我们“凿掉”了冗余的部分，“凿出”了我们想要的雕塑。

　　　　有时候，解方程式需要一些稍微复杂一点的方法。比如，当方程式中有未知数减去已知数的情况出现时，我们就要引入一种上面没有用到的技巧。例如，假设要解的方程式是x－2=5。为了解出x的值，我们必须想办法用手中的凿子凿掉方程式左侧的数字2。我们可以在方程式的左右两边同时加上2，这样做以后，方程式的左边只剩下一个x，所有的障碍都被清除了；而方程式的右边，则是2＋5=7。于是，我们的任务完成了，显然x的值就是等于7。当然，这个例子是一个非常简单的方程式，相信大部分的读者根本不用多想，看一眼就已经知道结果了。

　　　　对于任何一个学过代数的学生来说，上面的移项技巧可能是理所当然、简单明了的。但是大部分人都不知道，这种看似不起眼的技巧正是“代数”这个名词的起源。9世纪初期，巴格达的一位名叫穆罕默德·伊本·穆萨·花剌子模的数学家在一本讲义里首次阐述了移项技巧：当方程式一侧的未知数被减去一个已知数（比如上例中的2）时，可以通过在方程式两侧同时加上这个已知数，来“重组”方程式，帮助找到方程式的解。花剌子模把这种技巧命名为al－jabr，也就是阿拉伯语“重组”的意思。如今我们熟知的“代数”一词（英文为algebra），正是由al－jabr变形而来。在花剌子模死后很久，他的名字又一次被写进了数学史：人们发明了我们今天常用的“算法”一词，这个词（英文为algorithm）的词源正是这位数学家那略显古怪的名字：花剌子模（al－Khwarizmi）。

　　　　花剌子模这本讲义的后半部分都在讨论求解方程式的实际应用：如何处理复杂的遗产计算问题。而在这本讲义的前半部分，花剌子模详细地阐述了方程式中包括3种不同种类的数字的情况。在我们前面举的例子中，方程式里只有两种数字：已知数和未知数。而花剌子模研究的这类方程式中有3种数字：已知数、未知数（x）和未知数的平方数（x2）。现在，这种方程式已经有了自己的名字：二次方程式。在这里，我又要说一下词源学，二次方程（英文quadraticequations）的词根为拉丁语quadratus，意为“平方”。这类方程式常常会出现在建筑学、几何学的实际应用问题中，计算地块的面积或是比例关系时都需要求解二次方程式，所以，古巴比伦、古埃及、古希腊、古中国和古印度的数学家们都不约而同地研究过二次方程式的求解方法，并且获得了一定的成功。
第10章　丑陋却万能的二次方程求根公式（3）
　　　　在花剌子模的讲义中，他讨论了这样一个二次方程式：

　　　　x2＋10x=39

　　　　当然，花剌子模并不是这样表述二次方程式的，他使用的是文字而非符号的表述方法。花剌子模的书里是这样写的：什么数的平方加上这个数的10倍等于39？把这个问题“翻译”为今天通行的数学语言，就是我们上面写出的这个二次方程式。

　　　　与我们上面举出的两个一次方程式相比，求解这个方程式显然要棘手得多。我们怎么才能把这个方程中的x孤立出来，从而求得它的值呢？上面使用的移项技巧以及方程式两边同时乘以（或除以）一个常数的方法在这里显然不够用，因为顾得了x就顾不了x2，即使你把这两者之中的x孤立出来，另一个必然还会在那里碍手碍脚。比如，我们可以把方程式的两边同时除以10，这样10x就被简化成了x，但是，我们也会随之得到一个非常讨厌的x2/10，方程式还是没有解出来。总的来说，这个问题的难点是，我们需要同时做两件事情，而这两件事情看起来又似乎互不相容。

　　　　那么，花剌子模是怎么解决这类问题的呢？他的解法值得我们好好分析一下：一是因为他给出的解法非常简洁明了，二是因为他的解法极为强大—这种解法可以一步到位，解出任何二次方程式的根。也就是说，你可以把上述方程式中的10和39换成其他任何数字，这个方法仍然有效！

　　　　这个方法就是：用几何意义来诠释二次方程式中的每一项。首先考虑x2的值，它的几何意义是一个x乘以x的正方形的面积，如下图所示：

　　　　类似的，第二项10x的几何意义是一个10乘以x的长方形的面积。花剌子模进一步巧妙地把这个10乘以x的长方形一分为二，表示为两个5乘以x的长方形（这一步的妙处我们在下面自然会看到，这是“配方法”的基础）。

　　　　下面，我们把两个长方形和先前的正方形拼到一起，形成一个有缺口的形状，这个图形的面积就是x2＋10x。

　　　　现在，花剌子模把求解方程式的问题几何化了，问题就变成：如果上述形状的面积为39个单位，那么x应该是多少呢？

　　　　上面这幅图已经给出了十分清楚的提示，既然这个形状缺了一角，为什么我们不把它补全呢？补出这个小正方形之后，我们就得到了一个完美的大正方形。这说明什么呢？仔细看看下图。

　　　　补足的这个小正方形的面积是5×5=25，也就是说，左图大正方形的面积是x2＋10x＋25，因为这个图形现在是边长为（x＋5）的一个正方形。
第10章　丑陋却万能的二次方程求根公式（4）
　　　　通过这几步简单的处理，原来互相冲突的x2和10x，如今却携起了手，变成了一个简洁且容易处理的（x＋5）2。这种“配方法”使得求根问题变得十分简单。

　　　　别忘了