策略思维-第12部分

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　　这里有一个问题：假如消费者估计IBM差不多要降价了，他们就会稍等一下再购买。一旦大多数消费者都在观望，IBM就有动机加速减价进程，希望早日俘获消费者。这个想法首先是由芝加哥大学法学教授罗纳德·科斯（Ronald　
　　Coase）提出的。他认为，对于耐用产品，一个垄断者实际上是在跟以后的自己竞争，从而使市场变得富有竞争性。＇l7＇租赁做法作为一个承诺机制，使IBM得以维持较高的价格。租赁合同使IBM的降价成本大大增加。一旦它的机器短期出租，任何一次降价就都要告知全体消费者，而不仅仅限于那些尚未购买其机器的消费者。从现有消费者群体损失的收入，可能超过新的租赁合同带来的收入。相反，假如现有消费者群体拥有IBM的机器，这个结果就不会出现，因为已经花大价钱买下这台机器的消费者不会得到现金返还。
　　这么一来，租赁做法变成一个小步前进的例子。前进的步幅等于租赁时间。租赁时间越短，步幅也越短。假如步幅太大，消费者就不相信IBM会把价格维持在较高水平；他们会等待降价，等一段时间就能以较低价格购买同样的机器。不过，假如IBM只在短期可续约租赁合同的基础上出租它的机器，它就能以相当可信的方式将价格维持在较高的水平，这时，消费者没有理由观望，IBM就能赚取较高的利润。
　　作为大学教授和作者，我们在教科书市场上也遇到了同样的问题。假如承诺有可能存在，出版商一定会通过每五年推出一部新版教科书的方式提高利润，而不是沿用现在通行的三年周期。周期越长，这部教科书在二手教科书市场上的价值就越高，相应地，新版推出之际学生的购买积极性也会越高。问题在于，一旦出现二手教科书，出版商就有很强的动机想通过推出新版削弱二手教科书的竞争。由于人人都知道这样的事情一定会发生，因此，学生们可以用较低的价格买到二手教科书，因而也就不那么愿意花钱购买新版了。出版商的解决办法与IBM的解决办法一样：应该出租教科书，而不是出售教科书。
　　第7章不可预测性
　　1986年的全国棒球联赛冠军争夺战在纽约大都会队与休斯敦星象队之间展开，依靠击球手莱恩·戴克斯特拉（Len　
　　Dykstra）在第九局面对投手戴夫·史密斯（Dave　
　　Smith）的第二投击出的一个本垒打，纽约大都会队赢得了关键的一仗。赛后，两位球员都被问到究竟发生了什么事。＇1＇戴克斯特拉说：“他在第一投投了一个快球，我击球出界。当时我有一种奇怪的想法，觉得他接下来会投一个下坠球*，他确实那样做了。这个球的路线我看得非常准确，我的出手也非常准确。”而史密斯的说法则是：“只能归结为一点，即这是一个糟糕的投球选择。”换言之，他也认为戴克斯特拉可能猜到，因为第一投是一个快球，接下来史密斯可能改变投球速度。“如果我再投一次会怎么样？当然是（又）一个快球。”
　　*用中指与无名指夹住而投出的球，通常会在飞行过程中急速下坠。——译者注假如日后出现同样的情形，史密斯是不是应该采取再投一个快球的策略呢？当然不是。击球手可以看穿史密斯这一层次的思考方式，早就等着迎接一个快球。这个时候，史密斯应该转向另一个层次的思考方式，投出一个下坠球。击球手可以看穿并利用投手的一切有规则的思考与行动方式，反过来也一样。对双方而言，惟一合理的行动方针是力求做到不可预测。①遇到这些情况，策略思维的一个经典错误在于，认为只要将自己摆在对手的位置，就能预测对手的行动。在戴维·哈伯斯塔姆（David　
　　Halberstam）的著作《1949年夏天》（The　Summer　of'　49）里，当作者描述17岁的特德·　威廉斯（Ted　
　　Williams）初次体会策略思维的重要意义的时候，我们就看到这样的错误。＇2＇和其他许多年轻球员一样，威廉斯也对变化球感到一筹莫展。他一直应付不来。有一次，一名投手用一个曲线球使他出局。威廉斯对自己的表现极为恼火，一路小跑回到外场休息区自己的座位上。圣迭戈的一名投手曾是大联盟球员，他向威廉斯大喊了一声：“嘿，小伙子，他究竟是怎么把你打出去的？〃　
　　”一个该死的慢曲线球。“威廉斯答道。”你能不能击中他的快球？“投手问。”没问题。“威廉斯答道。”你觉得下一次他会怎样对付你？“投手问。出现了一个短暂的沉默。特德·威廉斯从没想过应该怎样对付他自己——那是投手们思考的问题。”一个曲线球。“他答道。”嘿，小伙子，“投手说，”为什么你不回到场边等待下一次机会呢？“威廉斯照办了，结果击出了一个漂亮的本垒打。由此展开了一项针对投手思维的长达25年的研究。
　　显然，这个投手没有认识到不可预测的必要性，当然，威廉斯也没有认识到，这是因为，假如威廉斯想过应该怎样向自己投球，他就不会在他意识到自己早有准备的时候仍然投出一个曲线球！本章将阐述在双方都想压倒对方的时候会出现什么情况。即便你的猜测不能始终正确，至少也可以看出其中的概率。
　　①　
　　要想做到不可预测，投手必须随机选择一系列精确的投球。他不能投出不精确的球。一个不精确的投手当然不可预测，因为他自己都不晓得球会飞向何处。若是缺少精确性，投手就没办法决定什么时候应该投什么类型的球，以及不同类型的球应该保持怎样的相对频率。精确而不可预测的投球的一个绝妙例子是不旋转球。由于这种球几乎不会旋转，球面上的缝合线会在空中飞行过程中引发相当突然的路线变化，结果没有人可以很有把握地预测它的落点。不过，话又说回来，没有几个投手可以投出好的不旋转球。
　　正确估计并回应不可预测性不仅在棒球场上非常有用，在其他领域也是一样。只要一方喜欢准确地预料将发生的事情，而另一方却竭力避免被预测，不可预测性就会变成策略的一个关键因素。美国国税局想要审查那些逃税者，而逃税者竭力想避免遭到审查。在孩子们中间，大孩子通常不喜欢小孩子当自己的“跟屁虫”，小孩子却喜欢跟在大孩子后面。入侵的军队想方设法企图选出一个绝妙的攻击点，发动一场出其不意的袭击，守军则想方设法企图确定进攻发生的地点，并在那里布下重兵，严阵以待。
　　在夜总会、饭店、服装和艺术方面的引领时尚者希望保持与众不同的地位，普通大众却期盼能跟他们呆在一起。最终，所谓“人时”的场所会被发现。不过，到了那时，明星们早就有了新的聚会处。这有助于解释夜总会的生命周期为什么这样短暂。一家夜总会一旦取得成功，就会引来无数好奇的捧场客。这会把引领时尚者赶跑，使他们不得不另找一个新的消遣去处。正如约吉·贝拉*（Yogi　
　　Berra）所说：“那地方实在太挤了，谁也不想去。”
　　*美国著名棒球选手兼球队经理。——译者注尽管棒球投手的投球选择或者国税局确定谁该接受审核也许不可预测，却还是有一些规则可以指导这类选择。一定数量的不可预测性不应该完全听天由命。实际上，选择投这种球而非那种球的概率，或者选择这人而非那人进行审核的概率，可以通过整个博弈的细节精确地确定下来。“虽然这实在疯狂，却也不是毫无办法。”下面我们就来解释这个办法。
　　1　．怎样使输赢机会相等？
　　你们当中有许多人一定还记得小学时玩过的一个游戏，叫做“一、二、三射击”或者“手指配对”。在这个比赛中，其中一个选手选择“偶数”，另外一个选手则得到“奇数”。数到三的时候，两个选手必须同时伸出一个或者两个手指。假如手指的总数是偶数，就算“偶数”选手赢；假如手指的总数是奇数，就算“奇数”选手赢。假设输者给赢者1美元。我们可以通过计算得出与策略选择相关的输赢图表（如图7…1　
　　所示）。
　　图7…1　
　　偶数者和奇数者的得益假如两位选手的行动不是随机的，这个博弈就没有均衡点。设想一下，假如“奇数”选手一定出一个指头，“偶数”选手就一定会用一个指头奉陪到底。现在，逻辑开始逆转。既然“奇数”选手确信他的对手一定会出一个指头，他就会改出两个指头。这将使“偶数”选手转而报以两个指头。这么一来，“奇数”选手就会出一个指头。于是我们又回到了开始的地方，这种循环推理看来简直是没完没了。
　　检验随机性是不是必要的一个简单办法，是考察让对手在出招之前看到你的行动究竟有没有害处。假如随机性必不可少，先行者就会处于不利地位。设想一下，在“一、二、三射击”的游戏里，你若是先行会出现什么情况？你将永远是输家。
　　并非任何随机性都会奏效。假设“奇数”选手有75％的时间选择出一个指头，另外25％的时间选择出两个指头。那么，“偶数”选手若是一直选择出一个指头，就能在75％的时间取胜，平均每场游戏赢得0。75xl＋0。25x（…1）=0。50　
　　美元。类似地，“偶数”选手若是选择出两个指头，平均每场游戏就会输掉0。50　
　　美元。因此，“偶数”选手会选择一直出一个指头。不过，“奇数”选手应该选择出两个指头，而不是前面提到的75：25　
　　的混合策略。在双方不断揣摩对方策略的连续多轮的较量中，这种混合策略将会一败涂地。
　　换言之，随机性存在一种均衡模式，必须加以计算。在这个例子中，整个局面是如此对称，以至于各个选手的均衡混合策略应该都是50：50　
　　。我们这就验证一下：假如“奇数”选手出一个指头和两个指头的机会是各一半，那么，“偶数”选手无论选择出一个还是两个指头，平均每场游戏将会赢得0。50xl＋0。50x（…1）=0美元。因此，假如他的策略也是50：50，那么他的平均所得就是0美元。同样的证明反过来也适用。因此，两个50：50混合策略对彼此都是最佳选择，它们合起来就是一个均衡。这一解决方案的名称叫做“混合策略”均衡，反映了个人随机混合自己的策略的必要性。
　　若是换了其他更一般的情况，这个均衡混合的对称性就不会显得如此明显，但仍有一些简单规则可以用来计算。我们以网球比赛为例子说明这些规则。
　　2　．有人要打网球吗？
　　网球的首要策略教训之一，就是不到最后一瞬不要选定一个方向。否则，对手可以利用对你的猜测，将球击向另一方。不过，哪怕你看不出对手的移动，预测一下也是大有好处的。假如发球者总是瞄准接球者的反手，接球者就会早有准备，开始向那个方向移动，从而可以更好地将球打回去。因此，发球者应该努力使自己的发球变得不可预测，不让接球者准确预计他的目标。相反，接球者启动的时候不能完全倾向于奔向这一方或者那一方。与手指配对游戏不同，网球选手不应该将不可预测性等同为输赢机会相等。参与者可以通过系统地偏向一边而改善自己的表现，只不过这样做的时候应该确保对方不能预见。
　　为了具体阐述这个问题，我们设想有这么一对具备特殊技巧的网球选手。接球者的正手稍微强一些。假如他的预计正确，他的正手回球有90％的机会获得成功，而反手回球的成功率只有60％。当然，假如他跑向一方而对方发出的球飞向另一方，那么，回球的质量就会大打折扣：假如他跑向反手一方，而对方发出的球飞向他的正手一方，他能及时转向而成功回球的概率只有30％　
　　；反过来，他的成功率只有20％。我们可以用图7…2　显示上述情况。
　　发球者一心要使对方回球成功的概率越低越好；接球者的目标恰恰相反。比赛开始前，两位选手要选择自己的作战计划。他们各自的最佳策略是什么？
　　假如发球者永远瞄准对手的正手，接球者就会预计到球会朝自己的正手而来，从而有90％的概率回球成功。假如发球者永远瞄准对手的反手，接球者也能预计到球会朝自己的反手而来，从而有60％的概率回球成功。
　　图7…2　
　　接球者成功回球的概率发球者只有打乱自己的瞄准目标才能降低接球者回球成功的概率。这么一来，他会让接球者永远处于猜测之中，也就没有办法尽享准确预测的优势了。
　　假设发球者在每次发球前都会在自己的脑子里投掷一枚假想的硬币，根据硬币出现正面或者反面决定自己的发球应该瞄准对手的正手还是反手。现在我们考察接球者若是向正手方移动会出现什么情况。这一猜测准确的概率只有50％。猜测准确的时候，正手回球的成功概率是90％　
　　；而猜测出错的时候，接球者及时转向而成功回球的概率只有20％。因此，他的整体成功概率是1/2*90％　＋1/2*20％=55　
　　％。通过类似的计算可以知道，若是向反手方移动，他的整体成功概率是1/2*60％＋1/2*30％=45％。
　　在发球者采取50：50　
　　混合策略的前提下，接球者若是从自己的角度出发，就能选出最佳回应策略。他应该向正手方向移动，这么做，成功回球的概率达到55％。而在发球者看来，这个成绩与他永远将球发向一方得到的结果相比已经有所改善。对比一下，假如发球者永远将球发向一方，分别是接球者的正手方和反手方，那么，接球者的成功回球概率分别为90％和60％。
　　另一个显而易见的问题是，发球者的最佳混合策略是什么？要回答这个间题，我们可将不同的混合策略的结果列成一个图表（如图7　
　　…3所示）。发球者瞄准对方正手方向的概率是一条从O　
　　到100％的水平线。对于所有这些混合策略，图中有两条线，一条显示接球者准备向正手方移动的成功回球概率，另一条则显示他准备向反手方移动的成功回球概率。举个例子：假如接球者准备向正手方移动，概率为0的向正手发球的策略（即100％地向反手发球的策略）就能使接球者的成功回球概率维持在20％的低水平，而100％地向正手发球的策略则会使接球者的成功回球概率达到90％。接球者的成功回球概率从一端直线上升到另一端。
　　图7…3两条直线交于一点，在这一点上发球者只有40％的时间将球发向对方正手方。在交点的左边，接球者若是预计对方会将球发向反手方，那么他的成功回球概率就会提高；而在右边，他若是预计对方会将球发向正手方，成功回球概率也会提高。①①　
　　注意，一旦发球者选择向接球者正手方向发球的概率超过40％　（不是50％　）　
　　，接球者如果将赌注押在正手方向，就能取得更好的成绩。哪怕发球者选择向接球者反手方向发球的概率还是较大，但他向两个方向发球的技巧却不相等。
　　向正手和向反手发球维持在40：60的混合策略，是惟一一个不会让接球者用上述方法占便宜的选择。只有选择这种混合策略，接球者无论选择防守正手还是反手，其成功回球概率都是一样的。两种情况都会留给接球者48％的成功回球概率。发球者若是采取其他任何一种混合策略，只要接球者善加利用，就能使自己的成功回球概率沿着图中的两条直线上升到交点之上，也就是超过48％。因此，40％的时间瞄准对方的正手就是发球者的最佳策略。
　　混合策略的确切比例是由基本行动配对而成的4种情况确定的。对于拥有不同的绝对优势和相对优势的选手，这里的数字90、60、30　
　　和20会相应发生变化，而他们的最佳混合策略也会随之不同。我们很快就会发现，这样一些变化可能导致一些令人惊讶的结果。这里的关键在于，你必须通过估计你真正参加的博弈的4种基本情况，确定自己的最佳混合策略。
　　这里有一条捷径，使你不必画出前面提到的图表也可以计算出均衡策略。这个简单的算术方法归功于J。D．威廉斯。＇3＇回到基本情况的表格。对于发球者，如果选择瞄准对方正手的策略，就要观察对方选择两种不同的回应方式之一会使结果发生什么变化；我们得到90…30=60　
　　。假设他瞄准对方反手发球，再做同样的计算，可得60…20=40　。将上述数字倒过来排列，就能得到最佳混合策略中采用这两种策略的概率。①　
　　因此，发球者应该按照40：60的比例瞄准对方的正手和反手。
　　现在我们改从接球者的角度考察同一场比赛。图7…4显示了他的不同选择会有什么不同的结果。假如发球者瞄准他的反手，那么，他回①　
　　我们可以用一点代数知识验证这个结果。假如纵列选手的得失情况如下图所示，左列对右列的均衡比例为（D…B）：（　
　　A…C）。纵列选手选择左列的概率是p，那么，无论横行选手选择上或者下都没有关系；pA＋（1…p）B＝pC十1…P）D　意味着p　/（　
　　1…p　）=（D…B　）/（A…C）　
　　，如前所述。由于横行选手的得失是纵列选手的得失的负数，他的均衡混合策略就是上行对下行，即（D…C）：（A…B）。
　　球的时候向反手方移动就能得到60％的成功回球概率，而向正手方移动的成功回球概率只有20％。从O到100％改变向正手方移动的概率，就得到一条和上述两点相交的直线。与前面的分析类似，若是发球者瞄准对手的正手，我们就得到一条从30％上升到90％的直线。这两条直线交于一点，在这一点，接球者向正手方移动的概率为30％　
　　，无论发球者选择瞄准哪一方，他的成功回球概率始终维持在48％。任何其他混合策略都会让发球者占便宜，使他得以选择更好的策略，将接球者的成功回球概率进一步降低到48％以下。
　　图7…4　接球手向正手移动的概率（％　）
　　此外，我们也可以采用威廉斯的方法。表格显示了接球者两种不同选择可能导致什么不同结果。若向正手方移动，我们得到90…20=70　；　
　　向反手方移动，我们得到60…30=30。将这两个数字倒过来排列就得到最佳混合策略的比例：30％的时间准备向正手方移动，70％的时间准备向反手方移动。
　　你可能已经注意到，从两位选手的不同角度计算最佳混合策略，会得到一个有趣的共同点：两次计算会得到同样的成功回球概率，即48％。接球者若采用自己的最佳混合策略，就能将发球者的成功概率拉低到发球者采用自己的最佳混合策略所能达到的成功概率。这并非巧合，而是两个选手的利益严格对立的所有博弈的一个共同点。这个结果称为最小最大定理，由前普林斯顿数学家约翰·冯·诺伊曼（John　
　　von　Nrumann）与奥斯卡·摩根斯顿（Oscar　
　　Morgenstern）创立。这一定理指出，在零和博弈里，参与者的利益严格相反（一人所得等于另一人所失），每个参与者尽量使对手的最大收益最小化，而他的对手则努力使自己的最小收益最大化。他们这样做的时候，会出现一个令人惊讶的结果，即最大收益的最小值（最小最大收益）等于最小收益的最大值（最大最小收益）。双方都没办法改善自己的地位，因此这些策略形成这个博弈的一个均衡。
　　我们以网球比赛为例，并假设每个选手只有两种策略，以此证明这一定理。假如发球者想努力使接球者的最大成功率最小化，他应该在假设接球者已经正确预计到他的混合策略且会做出最优回应的基础上确定自己的行动。也就是说，接球者的成功率将是图7…5中两条直线的最大值。这个最大值的最小值出现在两条直线的相交处，该点的成功率为48％。
　　图7…5发球手攻正手的概率（％　）
　　现在我们从接球者的角度考察这个问题：他要努力使自己的最小收益最大化。如图7…6所示，假如接球者一半时间向正手方移动，一半时间向反手方移动，他的新的收益曲线就是原来两条直线的平均值，以点线显示。由于这条直线是向上延伸的，其最小值永远出现在左端，该点的成功率为40％。无论接球者向两方移动的比例是多少，这条直线一定经过成功率为48％的那一点，这是因为发球者可以选择采用40：60的混合策略。假如这条直线出现任何倾斜，那么，它的一端一定落在48％以下。只有在接球者的混合策略为30：70的时候，这条直线才会变成一条水平直线，最小值变成48％。因此，最大值的最小值等于最小值的最大值——48％。
　　图7…6发球手攻正手的概率（％）
　　最小——最大定理的普遍证明相当复杂，不过，其结论却很有用，应该记住。假如你想知道的只不过是一个选手之得或者另一个选手之失，你只要计算其中一个选手的最佳混合策略并得出结果就行了。
　　我们的其他工具，比如威廉斯的方法和上述图表，能够很好地解决一切只有两个选手参加且他们各有两个策略的零和博弈。不幸的是，这些工具并不适用于任何非零和博弈，也不适用于选手数目超过两个或者他们拥有的策略数目超过两个的零和博弈。经济学家和数学家发明了更加普遍的技巧，比如线性规划方法，可以找出最复杂的零和博弈的均衡策略。虽然这些技巧超出了本书的范围，我们还是可以利用其中得出的结果。
　　所有混合策略的均衡具有一个共同点：每个参与者并不在意自己在均衡点的任何具体策略。一旦有必要采取混合策略，找出你自己的均衡混合策略的途径就在于使别人对他们自己的具体行动无所谓。虽然这听上去像是一种倒退，其实不然，因为它正好符合零和博弈的随机化动机：你想阻止别人利用你的有规则的行为占你的便宜。假如他们确实倾向于采取某一种特别的行动，从你的角度观察，这只能表示他们选择了最糟糕的方针。
　　说到这里，我们已经解释了采取混合或者随机策略的好处，以及这么做的策略必要性。基本要点在于，运用偶然性防止别人利用你的有规则的行为占你的便宜。将这一原理用于实践则是一个更微妙的间题。下面五个部分可以看做是运用混合策略的迷你指南。
　　3　．为什么你应该选择正确的混合策略？
　　假如真能发现某个参与者打算采取一种行动方针，而这种行动方针并非其均衡随机混合策略，另一个参与者就可以利用这一点占他的便宜。在网球比赛的例子中，当发球者采取自己的均衡策略，按照40：60的比例选择攻击对方正手方和反手方时，接球者的成功率为48％。如果发球者采取其他比例，接球者的成功率就会上升。举个例子：假如发球者很傻，决定把所有的球都发向对方较弱的反手方，接球者由于早有预料，其成功率将会增至60％。一般来说，假如接球者认识发球者，确切了解他有什么癖好，他就能相应采取行动。不过，这么做永远存在一种危险，即发球者可能是一个更出色的策略家，好比台球桌旁的骗子，懂得在无关紧要的时候装出只会采用糟糕策略的傻样，引诱对方上当，然后在关键时刻发挥本色，打接球者一个措手不及。一旦接球者以为看穿了对方的惯用手法，而放弃自己的均衡混合策略，一心要占对方便宜，就会上发球者的当。发球者乍看起来很傻的混合策略可能只是一个陷阱。只有采取自己的均衡混合策略才能避免这一危险。
　　与正确的混合比例一样重要的是随机性的本质。假如发球者向接球者正手方发出4个球，然后转向反手方发出6个球，接着又向正手方发4个球，再向反手方发6个球，如此循环，确实可以达到正确的混合比例。不过，这是一种有规则的行为，接球者很快就能洞察其中奥妙。他可以相应做出正确的移动，成功率因此上升为（4/10）90％＋（6/10）60％=72％。发球者若想取得最大效果，必须使每一次发球都不可预测。前面故事里提到的棒球选手戴克斯特拉与史密斯，似乎没意识到这个原则。
　　4　．为什么不能依赖对手的随机化？
　　假如一个参与者选择的是他的最佳混合策略，那么，无论对手采取什么样的策略，他的成功率都是一样的。假设你是网球比赛例子里的接球者，而发球者已经选择了他的最佳混合策略，即40：60的混合策略。那么，无论你向正手方还是反手方移动，又或是时而正手方，时而反手方，你的成功回球率都是48％。意识到这一点，你可能打算免掉计算自己的最佳混合策略的麻烦，只随便选定一种行动，并指望对手选择他的最佳混合策略。问题在于，除非你选择自己的最佳混合策略，否则你的对手就没有动机选择他自己的最佳混合策略。举个例子：假如你选择向正手方移动，他会转向攻击你的反手方。为什么你应该选择自己的最佳混合策略？理由就是迫使对方继续使用他的最佳混合策略。
　　5　．你的技巧变化了，你的最佳混合策略怎样变化？
　　假设接球者努力改进自己的反手回球技巧，反手方的成功回球率从60％上升为65％。我们可以相应修改用于计算他的最佳混合策略的图表。请看图7…7。我们注意到，接球者向正手方移动的比例从30％上升为33。3％　
　　，而整体成功回球率也从48％上升为50％。
　　图7…7　接球手向正手移动的概率（％　）
　　随着接球者的技巧不断改进，他的成功率自然也会提高。不过，出人意料的是，这一提高了的成功率是由减少使用改进了的反手技巧取得的。在第1章的妙手传说中，我们说过这样的事情有可能发生；现在我们就来解释一下。
　　原因在于两位参与者的策略的相互影响。当接球者更善于反手回球，发球者就会多向他的正手方发球（向正手发球的比率达到43％，　
　　而不是原来的40％）。为了适应这个变化，接球者也会多向正手方移动。反手技巧改进了，正手技巧的威力也因此释放出来。好比拉里·伯德的例子，随着他的左手投篮得分率上升，对方防守他的策略不得不发生同样的改变，结果反而给了他更多机会右手投篮。
　　同样的情况还有一个例子：假设接球者刻苦训练，提高自己的灵活性，从而他在向正手方移动后迅速转向接住反手球的准确度提高了。他对付反手球的成功率从20％上升为25％。和前面提到的情况一样，他向正手方移动的机会也从30％上升到31。6％　
　　（若用威廉斯的方法，向正手方和反手方移动的比例从原来的30：70上升为35：65）。接球者多向正手方移动的原因在于他在这边的技巧改善