空系列丛书-第89部分

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�山大城的阳光与直立物形成的夹角。按照相似三角形的比例关系，已知两地之间的距离，便能测出地球的圆周长。

　　　　埃拉托色尼测出夹角约为7度，是地球圆周角（360度）的五十分之一，由此推算地球的周长大约为4万公里，这与实际地球周长（40076公里）相差无几。

　　　　他还算出太阳与地球间距离为1。47亿公里，和实际距离1。49亿公里也惊人地相近。他还测出黄赤交角的二倍是圆周的11/83。这些都充分反映了他的智慧。

　　　　埃拉托色尼还是首先使用“地理学”名称的人，写成了三卷专著，描述了地球的形状、大小和海陆分布，并用经纬网绘制地图，最早把物理学的原理与数学方法相结合，创立了数理地理学。他的《地理学》是把地理置于合理的数学基础上的最早尝试。

　　　　他还创造了一种素数筛选的普遍公式，称为“埃拉托塞尼筛法”：

　　　　“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2………N中、将不大于√N（根号N）的素数的倍数全部划去即可”。

　　　　他对倍立方问题做过一定的研究，并制造出一种器械作图方法，还记载了倍立方问题起源的故事：

　　　　倍立方问题的来源，可追溯到西元前429年，一场瘟疫袭击了希腊第罗斯岛（Delos），造成四分之一的人口死亡。岛民们推派一些代表去神庙请示阿波罗的旨意，神指示说：

　　　　要想遏止瘟疫，得将阿波罗神殿中那正立方的祭坛加大一倍。

　　　　于是人们把每边增长一倍，结果体积变成了8倍，瘟疫依旧蔓延；

　　　　人们又试着把体积变为原来的2倍，形状却变为一个长方体；

　　　　第罗斯岛人在万般无奈的情况下，只好鼓足勇气到雅典去求救於当时著名的学者柏拉图。

　　　　开始，柏拉图和他的学生根据平面作一个正方形，使它的面积等于已知正方形的2倍很容易，类推认为这个倍立方问题也很容易。但结果却难得超出他们想象。

　　　　其实这个问题，等价于对于任意定义的1用尺规做出三次根号2。简单说因为尺规作图只能做出有理数和有理数的2的n次方扩域，而含有三次根号2和有理数域的域对于有理数域的扩张次数肯定是三的倍数，不可能是2的n次方。所以尺规做不出三次根号二，也就完不成倍立方了。

　　　　。。。

　　　　而化圆为方难题，同样有一个故事：

　　　　公元前5世纪，古希腊哲学家安那萨哥拉斯因为发现太阳是个大火球，而不是阿波罗神，犯有“亵渎神灵罪”而被投入监狱，被判处死刑。

　　　　在等待执行的日子里，夜晚安那萨哥拉斯总睡不着。圆圆的月亮透过正方形的铁窗照进牢房，使他对方铁窗和圆月亮产生了兴趣。他不断变换观察的位置，一会儿看见圆比正方形大，一会儿看见正方形比圆大。最后他说：“好了，就算两个图形面积一样大好了。”

　　　　安那萨哥拉斯把“求作一个正方形，使它的面积等于已知的圆面积”作为一个尺规作图问题来研究。起初他认为这个问题很容易解决，谁料他把所有的时间都用上，也一无所获。

　　　　后经好朋友伯里克利的多方营救，安那萨哥拉斯获释出狱。他把自己狱中所想的问题公布出来，许多数学家对这个问题很感兴趣，都想解决，可是一个也没有成功。这就是著名的“化圆为方”问题。

　　　　其难度在于作图使用工具的限制。古希腊人要求几何作图只许使用直尺（没有刻度，只能作直线的尺）和圆规。化圆为方问题，实际上就是用直尺圆规作出线段π的问题。

　　　　1882年法国数学家林德曼证明了π是超越数，同时证明了圆为方问题是标尺作图不可能的问题。因为十九世纪有人证明了若设任意给定长度单位，则标尺可作的线段长必为代数数。而化圆为方问题相当于求作长为√π的线段，但√π并非代数数，故此线段不可作。

　　　　而这些几何问题，其实都可以转换为代数方程问题。因直尺和圆不能做出一般的立方根，所以常常无解。

　　　　在十六世纪的欧洲，随着数学的发展，一元三次方程也有了固定的求解方法。在很多数学文献上，为了纪念世界上第一位发表一元三次方程求根公式的意大利数学家卡尔丹诺，把三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”。

　　　　那么，一元三次方程的通式解，是不是卡尔丹诺首先发现的呢？历史事实并不是这样。

　　　　事实上，中国南宋数学家秦九韶在1247年成书的数学巨著《数学九章》中就已经发表了一元三次方程的求根公式。

　　　　而西方数学史上最早发现一元三次方程通式解的人，其实是十六世纪意大利的另一位数学家尼柯洛�6�1冯塔纳（NiccoloFontana）。冯塔纳出身贫寒，少年丧父，家中也没有条件供他念书，但是他通过艰苦的努力，终于自学成才，成为十六世纪意大利最有成就的学者之一，在多次方程大赛对战中获胜，甚至米兰对决中以30：0完胜。由于冯塔纳患有“口吃”症，所以当时的人们昵称他为“塔塔里亚”（Tartaglia），也就是意大利语中“结巴”的意思。后来的很多数学书中，都直接用“塔塔里亚”来称呼冯塔纳。

　　　　而卡尔丹诺虽然是剽窃冯塔纳成果的人，但却是第一个在西方公布三次方程解的人，从人类知识分享的角度，他仍然算是一个功臣。

　　　　还有阿贝尔、伽罗瓦两位旷世奇才的故事，也十分精彩，令人扼腕。
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《平凡的世界》第一篇　《浪漫生活一百年》　第二章　少年　第二十三节　天才的陨落

言羽本来对数学王子高斯颇有好感，因为他的刻苦和勤奋，竟无意间机缘巧合地把一道流传了2000多年的数学难题（尺规作图作正十七边形），当成老师布置的家庭作业，通宵达旦地将它完成了。

　　　　然而后来知道了伽罗瓦和阿贝尔的故事以后，言羽不禁对成名后的高斯感到十分厌恶。

　　　　伽罗瓦和阿贝尔是人类数学界最耀眼的两位天才巨星，而两颗巨星的陨落，背后都笼罩着高斯的阴影。正是高斯等一批固步自封、刚愎自用的所谓数学前辈，将这两颗最为耀眼的天才之星，直接扼杀在其初生待长的摇篮之中。

　　　　阿贝尔、伽罗瓦和不少艺术家一样，偃蹇潦倒，死后才绽放闪烁璀璨的光芒。他们都20多岁就英年早逝，悲剧的命运，实在让人扼腕叹息。

　　　　但是他们的理论，究竟有什么过人之处？

　　　　不少数学或科学理论，人们会认为即使该理论的创建者没有提出该理论，日后也总会有其它数学家或科学家自然发展出该理论。那是大势所趋，顺其自然，例如，牛顿和莱布尼茨几乎同时而独立地发展出微积分。

　　　　然而，也有些数学或科学理论，却是灵性的产物，能够开拓新的领域，开创另一片天地。人们难以相信除了其创建者本人，还有人可能发展出那些理论。例如，费曼就怎样也想不到爱因斯坦是如何创建广义相对论的。

　　　　就同诗词歌赋一样，佳作本天成，妙手偶得之，写诗是要有天赋的，即便是历代帝王，也鲜有文学天才。史上帝王将相无数，公认有些才华的帝王也就仅有曹操，杨广和李煜三人。乾隆皇帝，酷爱写诗，一生很勤奋地写了四万多首诗，却几乎没有人能记得住他哪怕一句诗。

　　　　而阿贝尔和伽罗瓦的理论，在数学界之中，也正是这种如歌如赋别出机杼的神来之笔，除了他们，没有别的人能够完成。

　　　　历史上人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，中国在公元七世纪已经得到了一般的近似解法，唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶在他所著的《数书九章》的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶时期已得到了高次方程的一般解法。

　　　　而在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡尔丹诺公式，也称卡当公式。（这个公式其实是由意大利数学家塔塔里亚首先得到的；后来被米兰地区的数学家卡尔达诺问到，并剽窃发表在自己的著作里）。

　　　　三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里解出。于是数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。无数次的失败使人们怀疑5次以上方程根式求解的不可能性。

　　　　法国数学家拉格朗日更是称这一问题是在“向人类的智慧挑战”。他精心分析了二次、三次、四次方程根式解的结构之后，提出了方程的预解式概念，并且还进一步看出预解式和方程的各个根在排列置换下的形式不变性有关，也认识到求解一般五次方程的代数方法可能不存在。

　　　　而挪威数学家阿贝尔，却石破天惊般利用置换群的理论，给出了高于四次的一般代数方程不存在代数解的严格证明，由此开辟了研究近世代数方程论（包括群论和方程的超越函数解法）的道路。

　　　　阿贝尔的父亲是村子里的基督教牧师，家境贫困，学校里不得法的教育方法没有使他对学业产生兴趣。15岁时，他幸运地遇到一位优秀的教师霍尔姆伯。在其耐心细致的教导和推荐下，阿贝尔自学了许多当代名家如牛顿、欧拉、拉格朗日、高斯的数学著作，大师们不同凡响的创造性方法和成果，一下子开阔了阿贝尔的视野，把他的精神提升到一个崭新的境界，进入到当时数学研究的前沿阵地。后来他感慨地在笔记中写下这样的话：“要想在数学上取得进展，就应该阅读大师本人而不是他们门徒的著作”。

　　　　1824年，踌躇满志的阿贝尔自费印刷了自己的论文《论代数方程，证明一般5次方程的不可解性》。鉴于经费原因，他把内容压缩在了6页上，以小册子的形式刊行于克里斯蒂安尼亚，把它作为自己晋谒大数学家们特别是高斯的科学护照。他相信高斯将能认识他工作的价值而超出常规地接见。

　　　　然而高斯收到后却说：“太疯狂了，居然这么几页纸就解决了数学界的世界难题？！”由于这种不屑，他直接把这本册子扔进了书堆，甚至人们在高斯死后的遗物中发现，阿贝尔寄给他的小册子还没有裁开。

　　　　阿贝尔见论文寄给格丁根的高斯也未引起高斯注意，这一冷遇使得他没有到格丁根去。

　　　　他又拜访了好几位有名望的数学家和天文学家，但也没有得到应有的重视。直到在德国认识了克雷尔（AugustLeopoldCrelle），这是阿贝尔一生中第二个对他的事业有极大帮助的人。克雷尔原先是一个工程师和建筑师，在阿贝尔和施泰纳的建议下，于1826年创办了《理论与应用数学杂志》（JournalfürdiereineundangewandteMathematik），常简称为《克雷尔杂志》，是历史最悠久的数学杂志之一。《克雷尔杂志》头三卷发表了阿贝尔22篇包括方程论、无穷级数、椭圆函数论等方面开创性的论文和施泰纳的论文。这使得欧洲大陆开始注意阿贝尔的工作，反过来，阿贝尔出色的论文也使《克雷尔杂志》后来获得永恒的声誉。

　　　　阿贝尔通过正常渠道将论文提交到法国科学院。科学院秘书傅立叶读了论文的引言，然后委托勒让得和柯西负责审查。柯西把稿件带回家中，很巧妙地将它遗失然后声称找不到了。直到两年以后阿贝尔已经去世，失踪的论文原稿才重新找到，而论文的正式发表，则迁延了12年之久。

　　　　阿贝尔在欧洲大陆上没有取得合适的职位，经济的拮据使他在1827年5月回到挪威。1829年4月6日晨，他在贫病交困中郁郁去世，这颗耀眼的数学新星过早殒落；时年27岁。死后两天，克雷勒的一封信寄到，告知哥廷根大学已决定聘请他担任数学教授。人类数学界的损失是难以估计的，如果阿贝尔活到应有的寿命，不知将要做出多少新的贡献！

　　　　阿贝尔和雅可比（Jacobi）是公认的椭圆函数论的创始人。阿贝尔发现了椭圆函数的加法定理、双周期性，引进阿贝尔积分。此外，在交换群、二项级数的严格理论、级数求和等方面都有巨大的贡献。可惜他的论文的价值受到高斯等老顽固的轻视和打压，没有及时被学术界所认识。

　　　　椭圆函数是从椭圆积分来的。早在18世纪，从研究物理、天文、几何学的许多问题中经常导出一些不能用初等函数表示的积分，这些积分与计算椭圆弧长的积分往往具有某种形式上的共同性，椭圆积分就是如此得名的。19世纪初，椭圆积分方面的权威是法国科学院的耆宿、德高望重的勒让得（A。M。Legen…dre）。他研究这个题材长达40年之久，引出许多新的推断，组织了许多常规的数学论题，却没有增进任何基本思想，并把这项研究引到了“山重水复疑无路”的困境。

　　　　正是阿贝尔开拓了“柳暗花明又一春”的前景，使勒让得在这方面所研究的一切黯然失色。关键来自一个简单的类比。微积分中有一条众所周知的公式，其不定积分的反函数就是三角函数。而椭圆积分与上述不定积分具有某种形式的对应性，因此，如果考虑椭圆积分的反函数，则它就应与三角函数也具有某种形式的对应性。既然研究三角函数要比表示为不定积分的反三角函数容易得多，那么对应地研究椭圆积分的反函数（后来就称为椭圆函数）不也应该比椭圆积分本身容易得多吗？

　　　　“倒过来”，这一思想非常优美，也的确非常简单、平凡。但勒让得苦苦思索40年，却从来没有想到过它，就像乾隆爷一生苦修写了四万多首诗一样，因缺乏灵感，难有突破。

　　　　科学史上并不乏这样的例证，优美、简单、深刻、富有成果的思想，需要的并不只是知识和经验的单纯积累，不是深思熟虑的推理，不是对研究题材的反复咀嚼，需要的是一种天赋，一种灵感，一种能够穿透一切障碍深入问题根柢的非凡的洞察力，这大概就是人们所说的旷世天才吧。

　　　　“倒过来”的想法像闪电一样照彻了这一题材的奥秘，凭借这一思想，阿贝尔高屋建瓴，势如破竹地推进他的研究。他得出了椭圆函数的基本性质，找到了与三角函数中的π有相似作用的常数K，证明了椭圆函数的周期性。他建立了椭圆函数的加法定理，借助于这一定理，又将椭圆函数拓广到整个复域，并因而发现这些函数是双周期的，这是别开生面的新发现；他进一步提出一种更普遍更困难类型的积分——阿贝尔积分，并获得了这方面的一个关键性定理，即著名的阿贝尔基本定理，它是椭圆积分加法定理的一个很宽的推广。至于阿贝尔积分的反演——阿贝尔函数，则由不久后的黎曼（B。Riemann）首先提出并深入研究。

　　　　自16世纪以来，随着三次、四次方程陆续解出，人们把目光落在五次方程的求根公式上，然而近300年的探索一无所获，阿贝尔证明了一般五次方程不存在求根公式，解决了这个世纪难题。

　　　　而且更重要的，事实上阿贝尔发现了一片广袤的沃土，他个人不可能在短时间内把这片沃土全部开垦完毕，用埃尔米特（Hermite）的话来说，阿贝尔留下的后继工作，“够数学家们忙上五百年”。

　　　　为了纪念挪威天才数学家阿贝尔诞辰200周年，挪威政府于2002年设立了一项数学奖——阿贝尔奖。这项每年颁发一次的奖项奖金高达80万美元，相当于诺贝尔奖的奖金，是世界上奖金最高的数学奖。在挪威皇宫还有一尊阿贝尔的雕像，这是一个大无畏的青年的形象，他的脚下踩着两个怪物——分别代表五次方程和椭圆函数。

　　　　如果说是贫穷毁了阿贝尔，那么可以说是冲动毁了伽罗瓦。

　　　　1832年5月30日清晨，在巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人，过路的农民从枪伤判断他是决斗后受了重伤，就把这个不知名的青年抬到医院。第二天早晨十点，这个年仅21岁的可怜人离开了人世，数学史上最年轻、最富有创造性的头脑停止了思考。后来的一些著名数学家们说，他的死使数学的发展被推迟了几十年………他就是伽罗瓦。

　　　　伽罗瓦的双亲都受过良好的教育。在父母的熏陶下，伽罗瓦童年时代就极有才华，表现出认真、热心等良好的品格。其父尼古拉�6�1加布里埃尔�6�1伽罗瓦属自由党人，是拿破仑的积极支持者，主持担任过提供少年就学的学校校长，并担任拉赖因堡15年常任市长，深受市民的拥戴。伽罗瓦曾向同监的难友勒斯拜——法国著名的政治家、化学家和医生说过：“父亲是他的一切”，可见父亲的政治态度和当时法国的革命热潮对伽罗瓦的成长和处事有较大的影响。

　　　　伽罗瓦的母亲玛利亚�6�1阿代累达�6�1伽罗瓦曾积极参与儿子的启蒙教育。作为古代文化的热烈爱好者，她把从拉丁和希腊文学中汲取来的英勇典范介绍给她儿子。1848年发表在《皮托雷斯克画报》上有关伽罗瓦的传记中，特别谈到“伽罗瓦的第一位教师是他的母亲，一个聪明兼有好教养的妇女，当他还在童稚时，她一直给他上课”。这就为伽罗瓦在中学阶段的学习和以后攀登数学高峰打下了坚实的基础。

　　　　1823年l0月伽罗瓦年满12岁时，离开了双亲，考入有名的路易�6�1勒�6�1格兰皇家中学。他的老师们对其中学生活的回忆录和笔记中，记载了他已经具有“杰出的才干”、“举止不凡”、极有个性，而且显露出强烈的求知欲。

　　　　伽罗瓦在路易�6�1勒�6�1格兰皇家中学领奖学金，完全靠公费生活。在第四、第三和第二年级时他都是优等生，在希腊语作文总比赛中也获得好评，并且在1826年l0月转到修辞班学习。

　　　　由于身体原因重修了二年级，使伽罗瓦有机会毫无阻碍地被批准去上初级数学的补充课程。自此他把大部分时间和主要精力用来研究、探讨数学课本以外的高等数学。伽罗瓦经常到图书馆阅读数学专著，特别对一些数学大师，如勒让德的《几何原理》和拉格朗日的《代数方程的解法》、《解析函数论》、《微积分学教程》进行了认真分析和研究，但他并未失去对其他科目的兴趣。

　　　　因此，当1827年伽罗瓦回到修辞班时，他的全面发展甚至比他的数学天分在同学之中更加出人头地了。但是他对其它科目的教科书的内容以及教师所采用的教学法之潦草马虎感到愤怒。所以有的教师认为他被数学的鬼魅迷住了心窍。

　　　　这时伽罗瓦已经熟悉欧拉、高斯、雅可比的著作，这更提高了他的信心，他认为他能够做到的，不会比这些大数学家们少。到了学年末，他不再去听任何专业课了，而在独立地准备参加取得升入综合技术学校资格的竞赛考试。结果尽管考试失败，他仍然从中学初级数学班跳到里夏尔的数学专业班。

　　　　路易�6�1勒�6�1格兰中学的数学专业班教师里夏尔，是科学史上一个很有才华的教师，使人追念。里夏尔不仅讲课风格优雅，而且善于发掘天才。他遗留下的笔记中记载着：“伽罗瓦只宜在数学的尖端领域中工作”，“他大大地超过了全体同学”。
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《平凡的世界》第一篇　《浪漫生活一百年》　第二章　少年　第二十四节　　永恒的传奇

里夏尔帮助伽罗瓦于1828年在法国第一个专业数学杂志《纯粹与应用数学年报》三月号上，发表了他的第一篇论文—《周期连分数一个定理的证明》，并说服伽罗瓦向科学院递送备忘录。

　　　　1829年，中学学年结束后，伽罗瓦刚满18岁，7月2日，正当伽罗瓦准备入学考试时，他的父亲由于受不了天主教牧师的攻击、诽谤而自杀了。

　　　　之后在报考巴黎综合技术学校时，在口试中，他巧妙的写出一组数列以回答考官关于“对数”这样的过于简单的问题，而主考的教授比内和勒费布雷�6�1德�6�1富尔西对伽罗瓦阐述的见解不理解，居然嘲笑他。伽罗瓦由于被狂笑声所激怒，气愤地把黑板擦布扔到了主考人头上，于是再次遭到落选，仍然是一个非正式的预备生，后来读了师范大学。

　　　　1829年，伽罗瓦在他中学最后一年快要结束时，把关于群论初步研究结果的论文提交给法国科学院，科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人。柯西却再次巧妙地将其遗失了，并且在计划的讨论会中对该论文只字不提。

　　　　1830年2月，伽罗瓦将他的群论研究成果比较详细地写成论文交上去了，以参加科学院的数学大奖评选，希望能够获奖。论文寄给当时科学院终身秘书傅立叶，但傅立叶在当年5月去世了，而在他的遗物中未能发现伽罗瓦的手稿。

　　　　就这样，伽罗瓦递交的两次数学论文都被遗失了。

　　　　第三次他的手稿由数学家柏松审查，但由于内容太过高深，柏松的评语是：完全不能理解。

　　　　而论文中，伽罗瓦通过改进数学大师拉格朗日的思想，既设法绕过了拉氏预解式，又从拉格朗日那里继承了问题转化的思想（即把预解式的构成同置换群联系起来），并在阿贝尔研究的基础上，进一步发展了自己的思想，把全部问题转化或归结为置换群及其子群结构的分析。

　　　　这个理论的大意是：每个方程对应于一个域，即含有方程全部根的域，称为这方程的伽罗瓦域，这个域对应一个群，即这个方程根的置换群，称为这方程的伽罗瓦群。伽罗瓦域的子域和伽罗瓦群的子群有一一对应关系；当且仅当一个方程的伽罗瓦群是可解群时，这方程是根式可解的。

　　　　伽罗瓦的悲剧在于，他比他同时代的人超前得太多，以致没人能理解他，甚至高斯，柯西和傅立叶都不能。高斯收到他的论文之后看到标题甚至没有看内容就直接扔进了废纸篓。因为关于五次方程的问题在当时被视为无法解决的难题，伽罗瓦那篇论文在高斯看来就像现代一个专科学生声称解决了哥德巴赫猜想一样不靠谱。这是数学界的又一大冤案，冤案制造者仍然有高斯。

　　　　因从小受父亲影响，有着极高的革命热情，伽罗瓦曾发誓“如果为了唤起人民，需要我死，我愿意牺牲自己的生命”。后来法国七月革命时，因为在校报上抨击政治两面派校长，最终被迫退学。

　　　　1831年7月，被反动王朝视为危险分子的伽罗瓦在国庆节示威时再次被抓，被关在圣佩拉吉监狱。在这里他庆祝了自己的20岁生日，并渡过了他生命中最后一年的大部分时间。

　　　　伽罗瓦在圣佩拉吉监狱中写成的研究报告中写道：“把数*算归类，学会按照难易程度，而不是按照它们的外部特征加以分类，这就是我所理解的未来数学家的任务，这就是我所要走的道路。”

　　　　“把数*算归类”这句话，道出了他的理想、他的道路。毋庸置疑，这句话指点出后世的群论和所有衍生理论。其后好几代数学家的工作，才最终实现了伽罗瓦的理想。正是他的著作，标志着旧数学史的结束和新数学史的开始。

　　　　1832年3月16日伽罗瓦获释后不久，年轻气盛的伽罗瓦为了一个女人，有说是医师之女，也有说是一个舞女，卷入了一场他所谓的“爱情与荣誉”的决斗。伽罗瓦非常清楚对手的枪法很好，自己难以摆脱死亡的命运，所以连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿。

　　　　或许是伽罗瓦在生活中受到巨大打击，论文三次被拒，挚爱的父亲自杀，未能考入综合工艺学院，年轻的充满激情的心又被心上人拒绝而碎裂，在如此巨大的压力下，决斗仅仅是他自杀的一种方式，两人隔着25公尺射击，伽罗瓦被打穿了肠子。死之前，他对在他身边哭泣的弟弟说：“不要哭，我需要足够的勇气在20岁的时候死去”。

　　　　决斗的前一晚，他用了一整夜的时间在纸上写下他的研究成果。他不时的中断，在纸边空白处写上“我没有时间，我没有时间”，然后又接着写下一个极其潦草的大纲。他在天亮之前那最后几个小时写出的东西，却一劳永逸地给一个已经折磨了数学家们几个世纪的难题找到了真正的答案，这个谜就是在什么条件下方程是可解的，并且由此开创了数学的一片新的天地。

　　　　伽罗瓦对自己的成果充满自信，他在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我在分析方面做出了一些新发现。有些是关于方程论的；有些是关于整函数的……。公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性，而是对这些定理的重要性发表意见。我希望将来有人发现，这些对于消除所有数学界有关的混乱是有益的。”

　　　　伽罗瓦被埋葬在公墓的普通壕沟内，坟墓后世已无迹可寻。但他不朽的纪念碑就是他的著作，由他被拒绝的论文和他在死前那个不眠之夜写下的潦草手稿所组成。全世界都应该感谢当晚的手稿被舍瓦利叶保留了下来，不然他的论文也将永远被高斯、柯西这样不负责任的所谓大师完全埋没或“遗失”。

　　　　历史学家们曾争论过这场决斗是一个悲惨的爱情事件的结局，还是出于政治动机造成的，但无论是哪一种，一位世界上最杰出的数学家在他21岁时被杀死了，而他开始研究数学才仅仅只有五年（伽罗瓦1828年开始研究代数方程理论时，甚至还完全不了解阿贝尔已做的工作）。

　　　　伽罗瓦死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。他的论文手稿过了十四年后，也就是1846年，才由法国数学家刘维尔领悟到这些演算中迸发出的天才思想，他花了几个月的时间试图解释它的意义。刘维尔最后将这些论文编辑发表在他的极有影响的《纯粹与应用数学杂志》上，并向数学界推荐。1870年法国数学家约当根据伽罗瓦的思想，撰写了《论置换与代数方程》一书，他在这本书使里伽罗瓦的思想得到了进一步的阐述。

　　　　伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗瓦理论。正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程。正是这套理论为数学研究工作提供了新的数学工具—群论。它对数学分析、几何学的发展有很大影响，并标志着数学发展现代阶段的开始。

　　　　伽罗瓦“把数*算归类”的群论思想，犹如一